TG4-G10G20-Solucion

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  Solucion
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  CÀLCUL Grau en Enginyeria de la Construcció, Curs 2010-2011 TG4: Ecuaciones diferenciales Problema 1.  La corriente sanguínea lleva un medicamento hacia el interior de un órgano arazón de  3cm 3 / seg  y sale de él a la misma velocidad. El órgano en cuestión tiene un volumende líquido de  125cm 3 . Si la concentración del medicamento en la sangre que entra en elórgano es de  0 , 2g / cm 3 , ¿cuál es la concentración del medicamento en el órgano en el instante t  si inicialmente no había vestigio alguno del medicamento? ¿Cuándo la concentración delmedicamento en el órgano será del  0 , 1g / cm 3 ? La cantidad de medicamento en el órgano está determinada por la ecuación diferencial x ′ ( t ) =  c e ( t ) f  e ( t ) −  f  s ( t ) V   ( t )  x ( t ) ,  donde  V   ′ ( t ) =  f  e ( t ) − f  s ( t ) . En este caso  f  e  =  f  s  = 3 cm 3 y por tanto  V   ( t ) = 125 cm 3 para todo  t . Además  c e ( t ) = 0 , 2 g y como inicialmente en el órgano no había medicamento, el problema de valor inicial quedetermina la cantidad de medicamento en el órgano está dada por x ′ ( t ) = 0 , 6 −  3125  x ( t ) , x (0) = 0 . Aplicando la Fórmula de Lagrange, resulta que la cantidad de medicamento en el órganoestá dada por x ( t ) = 0 , 6    t 0 e − 3( t − s )125 ds  = 25  1 − e −  3 t 125  así que la  concentración de medicamento en el órgano,  c ( t ) =  x ( t ) V   , estará dada por1  2 c ( t ) = 0 , 2  1 − e −  3 t 125  g / cm 3 . Si  t 1  es el instante en el que la concentración es  0 , 1g / cm 3 , necesariamente debe verificarseque  0 , 1 =  c ( t 1 ) = 0 , 2  1 − e − 3 t 1125  , es decir,  3 t 1 125 = ln2 = ⇒ t 1  = 1253 ln2 =  28,9 s. Problema 2.  Hallar la única solución del problema de valores iniciales x ′ ( t ) =  e t  1 +  x 2 ( t )  ;  x (0) = 0 . Si  f   :  R  −→  R  está dada por  f  ( x ) = 1 +  x 2 y tomamos  g ( t ) =  e t , entonces la EDO  x ′ ( t ) =1 +  x ( t ) 2 se expresa como  x ′ ( t ) =  g ( t ) f  ( x ( t )) , lo que implica que es de variables separables.Esta EDO no tiene equilibrios por lo que cada problema de valores iniciales tiene unicidadde soluciones.La única solución verificando la condición inicial  x (0) = 0  se obtiene mediante la expresión    x ( t )0 1 f  ( z  ) dz   =    t 0 g ( s ) ds, en este caso,    x ( t ) x 0 11 +  z  2 dz   =    t 0 e s ds  =  e t − 1 , x 0  ∈ R Por tanto,    x ( t ) x 0 11 +  z  2 dz   = arctan( x ( t )) − arctan(0) = arctan( x ( t )) , de donde x ( t ) = tan( e t − 1) , t ∈ J   ⊂ R . c   Càlcul, E. Construcció. etseccpb , 2010-11
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