Tarea módulo 4 polinomios tercer año

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  1. Los polinomios son una parte importante delÁlgebra. Están presentes en todos loscontextos científicos y tecnológicos: desde losordenadores y la informática hasta…
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  • 1. Los polinomios son una parte importante delÁlgebra. Están presentes en todos loscontextos científicos y tecnológicos: desde losordenadores y la informática hasta la carreraespacial.La fórmula para calcular La fórmula queel volumen de un cubo expresa elen función de la longitud movimiento de un(l) de su lado viene dada cuerpo en caídapor: libre viene dada V (l ) l 3 por el siguiente polinomio: 1 2 P (t ) gt 2 t: tiempo g: gravedad
  • 2. MonomiosUn monomio es una expresión algebraica en laque la únicas operaciones que afectan a las letrasson la multiplicación y la potencia de exponentenatural. Son monomios: NO son monomios: 2 2x 2x 2 3 2 12 x yz 2 2 3 15 7 yz x 4abc
  • 3. Partes de un monomioLos coeficientes son los números que aparecen multiplicando.La parte literal la forman las letras y sus exponentes.El grado del monomio es la suma de los exponentes de las letras. 1 1 1 Gr. 2 Gr. 3 1 2 6 Gr. 1 1 15 17
  • 4. Tipos de monomiosMonomios semejantes: Monomios opuestos:tienen la misma parte literal. son semejantes y sus coeficientes son números opuestos. 2 3 2 3 2 3 2 3 25a b ab 25a b 25a b 1 1 3 2 1 3 25xy xy x y x y 7 7 7 NO semejantes NO opuestos 2 3 2 3 3 2 2 3 3a b c ab 25a b 25a b
  • 5. Operaciones con monomiosLa suma (o resta) de monomios semejantes se realizasumando (o restando) los coeficientes y dejando la misma parteliteral. 2 2 2 2Ejemplo 1: 5 xy 3 xy 5 xy 7 xy ( ) xy2 10xy2 2 2 2Ejemplo 2: 5 xy 3x y No son semejantes, luego no se pueden sumar.
  • 6. Operaciones con monomiosPara multiplicar por un lado, multiplicamos suscoeficientes y, por otro, sus partes literales. 2 3Ejemplo 3: 3y 7 y ( ) 21y 2 3 4 2Ejemplo 4: 5xy 3x ( ) 15x y
  • 7. Operaciones con monomiosPara dividir por un lado, dividimos suscoeficientes y, por otro, sus partes literales(si se puede). 7 2 5Ejemplo 5: 21y : 7 y ( )( : ) 3y 3 2 25 3Ejemplo 6: 25a b : 4b a 4
  • 8. PolinomiosUn polinomio es una expresión algebraica formada porla suma o resta de dos o más monomios no semejantes. Coeficiente Grado: 2 + 5 = 7 Término principal independiente 3 2 5 3 xy 7x y 3 xyz 21 TérminosCada uno de los monomios se llama término, y si no tiene parteliteral se llama término independiente.El mayor de los grados de todos sus términos se denomina gradodel polinomio.Se llama coeficiente principal al coeficiente del monomio demayor grado.
  • 9. PolinomiosEl valor numérico de un polinomio P(x), para unvalor x=a, lo expresamos como P(a) y se obtienesustituyendo la variable x por el valor a en elpolinomio y operando. 4 3Ejemplo: P( x) 7x 3x 4 x 10 4 3P(2) 7 2 3 2 4 2 10 7 16 3 8 8 10 112 24 8 10 86 4 3P( 1) 7 1 3 1 4 1 10 71 3 1 4 10 7 3 4 10 4
  • 10. PolinomiosEl polinomio opuesto de un polinomio P(x), quedesignamos como -P(x), se obtiene cambiando elsigno de todos los términos de P(x). 4 3Ejemplo: P( x) 7x 3x 4 x 10 4 3Polinomio opuesto: P( x ) 7x 3x 4 x 10
  • 11. Operaciones con polinomiosPara sumar polinomios sumamos sus monomiossemejantes, dejando indicada la suma de losmonomios no semejantes. 5 4 2Ejemplo: P( x) 2x x 7x 1 2x 7x 4 3 2 Q( x) 3x 2x 2x 7 x 8 3x 2 x 2 x P ( x) Q( x ) 5 4 3 2 2x 2x 2x 5x 7x 7
  • 12. Operaciones con polinomiosPara restar polinomios sumamos al primero elopuesto del segundo. 5 4 2Ejemplo: P( x) 2x x 7x 1 2x 7x 4 3 2 Q( x) 3x 2x 2x 7 x 8 3x 2 x 2 xP ( x) Q( x ) 5 4 3 2 2x 4x 2x 9x 7x 9
  • 13. Operaciones con polinomiosPara multiplicar un monomio por un polinomiomultiplicamos el monomio por cada uno de lostérminos del polinomio. 5 4 2 3Ejemplo: P( x ) 2 x x 7x 1 por 2x 2x 3 2 x P( x) 8 7 5 3 4x 2x 14 x 2x
  • 14. Operaciones con polinomiosEl producto de dos polinomio se halla multiplicandocada uno de los términos de uno de los polinomiospor el otro, y sumando después los polinomiossemejantes. 3 2Ejemplo: P( x ) 2 x 5x 1 Q( x) 3x 4 3 8x 20 x 4 5 3 2 6x 15x 3x P ( x) Q( x) 5 3 2 6x 23x 3x 20 x 4
  • 15. Operaciones con polinomiosPara dividir un polinomio entre un monomio,dividimos cada término del polinomio entre elmonomio. Ejemplos: 5 4 2 P( x) 6 x 9 x 27 x 2 5 2 4 2 2 2 P( x) : 3 x 6 x : 3x 9 x : 3x 27 x : 3x 3 2 2 x 3x 9 3Q( x) 7 x y 5xy 3 7 x y 5 xy 7 2 5Q( x) : 2 x x y 2x 2x 2 2
  • 16. Operaciones con polinomiosPara dividir un polinomio entre un polinomio,seguiremos los siguientes pasos: 3 4 2 P( x) 2 x x 20 11x 30 x 2 Q( x ) 3 x x 2 1º) Ordenamos los términos del dividendo y del divisor y los dispondremos como una división normal. 4 3 2 2 x 2x 11x 30x 20 x 3x 2
  • 17. Operaciones con polinomios2º) Se divide el primer término del dividendo con elprimer término del divisor, así se obtiene el primertérmino del cociente. 4 3 2 2 x 2x 11x 30x 20 x 3x 2 4 3 2 2 x 3x 2x x x 2 3x 2 x2 x 4 3x 3 2 x 23º) Se multiplica el primer término del cociente porcada término del divisor y el producto pasa restando aldividendo.
  • 18. Operaciones con polinomios4º) Se suman algebraicamente. 4 3 2 2 x 2x 11x 30x 20 x 3x 2 4 3 2 2 x 3x 2x x 5x 3 2 5x 9 x 30 x 20 3 2 x 2 3x 2 5 x 15 x 10 x 5x 5 x 3 15 x 2 10 x5º) Se divide el primer término del nuevo residuo, entreel primer término del divisor, así obtenemos el segundotérmino del divisor. Este segundo término se multiplicapor el divisor y se pasa restando al dividendo.
  • 19. Operaciones con polinomios6º) Se repite el procedimiento hasta que el grado delpolinomio resto sea menor que el grado del polinomiodivisor. 4 3 2 2 x 2x 11x 30x 20 x 3x 2 4 3 2 2 x 3x 2x x 5x 6 3 2 5x 9 x 30 x 20 3 2 5 x 15 x 10 x 2 6x 20 x 20 2 6x 18 x 12 2x 8
  • 20. Operaciones con polinomiosPolinomio dividendoD(x) Polinomio divisor 4 3 2 2x 2x 11x 30x 20 x 3x 2 2 d (x) x 5x 6 Polinomio cocientec(x) Polinomio restor (x) 2x 8
  • 21. Identidades notablesLas siguientes operaciones con binomios sonsimples multiplicaciones.Es recomendable aprenderlas de memoria por suconstante utilidad.Uno de los errores mas frecuentes es considerarque la expresión (a+b)2 es igual a a2+b2. Pero es FALSO.
  • 22. Identidades notablesCuadrado de una suma: el cuadrado de una sumaes igual a: • el cuadrado del primero, • más el doble del primero por el segundo, • más el cuadrado del segundo. a b a + b a + b a+b a a2 ab ab + b2 (a+b)2 a2 + ab b ab b2 a2 + 2ab + b2 a+b
  • 23. Identidades notablesCuadrado de una diferencia: el cuadrado de unadiferencia es igual a: • el cuadrado del primero, • menos el doble del primero por el segundo, • más el cuadrado del segundo. a - b a - b (a-b)2 - ab + b2 a2 ab a2 - ab ab a2 - 2ab + b2 b2
  • 24. Identidades notablesSuma por diferencia: una suma por una diferenciaes igual a: • el cuadrado del primero, • menos el cuadrado del segundo. a + b a - b - ab - b2 a2 + ab a2 - b2
  • 25. Identidades notables
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