Sucesiones

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  Matemática II Sucesiones Formulas
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   SUCESIONES Recibe el nombre de sucesión una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos (   : N* → , donde U puede ser cualquier otro conjunto, por ejemplo R),o un subconjunto de N. Así, por ejemplo la función  :→ , definida mediante  ()≡ (−)   , es una sucesión, por que satisface la definición , puesto que  ()= N* ={1; 2; 3; …}. Si en este ejemplo hacemos que  ()=  , tenemos   = (−)   , que es la notación consensual. En general, una sucesión se denotará así {  } ≥ , o, simplemente {  } , o, bien   ,∈ *, siendo los elementos de dicha sucesión los valores de   , el número   lleva el nombre de número de término   . Por ejemplo, la sucesión {(1)   2 } ≥  representa a: -1; 4; -9; 16 ; … (1)   2 , …  SUCESIONES ACOTADAS Y NO ACOTADAS Sea la sucesión {  } ≥ , entonces definimos: A.   La sucesión   , ∈ * está acotada inferiormente , si existe un número  tal que para todo  ∈ * es cierta la desigualdad   .  B.   La sucesión   , ∈ * está acotada superiormente, si existe un número   tal que para todo  ∈ * es cierta la desigualdad   ≤.  C.   La sucesión   , ∈ * es acotada, si existen tales números    , que para todo ∈ * se verifique la desigualdad ≤  ≤.  Esta definición equivale a la sucesión   , ∈ * es acotada si existe tal número >0 que para todo ∈ * es cierta la desigualdad {  }>.  D.   La sucesión {  } ≥ se llama no acotada si para todo número positivo   existe un elemento     de esta sucesión que satisface la desigualdad |  |>.  Observación .- A los números    , se les llaman cotas inferior y superior, respectivamente. SUCESIONES MONÓTONAS Sea {  } ≥  una sucesión de números reales. A.   Se dice que {  }  es creciente si se cumplen las desigualdades   ≤ 2 ≤ 3 ≤⋯≤  ≤ + ≤⋯  o bien ,   ≤ +  ∀  ∈ *. B.   Se dice que {  }  es estrictamente creciente si se cumplen las desigualdades   < 2 < 3 <⋯<  < + <⋯  o bien ,   < +  ∀  ∈ *. C.   Diremos que {  }  es decreciente si se satisfacen las desigualdades    2  3 ⋯   + ⋯  o bien ,    +  ∀  ∈ *. D.   Diremos que es estrictamente decreciente si se satisfacen las desigualdades   > 2 > 3 >⋯>  > + >⋯  o bien ,   > +  ∀  ∈ *.  Estas cuatro sucesiones forman la clase de las sucesiones monótonas, asimismo a las sucesiones definidas en los ítems B y D se les llaman sucesiones estrictamente monótonas. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN El número   lleva el nombre de límite de la sucesión {  }  si para cada >0 existe tal número   que para cualesquiera   es cierta la desigualdad: |  |<  En este caso escribiremos: lim →∞   = , o bien í   = . Y se dice ≪ ó {  }   í  ú ≫  o de otro modo ≪ ó {  }  ℎ  ú ≫ . Aquella sucesión que tiene límite recibe el nombre de convergente y una sucesión que no tiene límite se llama divergente. TEOREMA SOBRE LÍMITES DE SUCESIONES Teorema de la unicidad. - Una sucesión solo puede tener un límite. Es decir, si el límite existe (   debe ser un número), es único. Teorema de la condición necesaria.  –  Si una sucesión tiene límite, necesariamente ella está acotada. Esto se puede utilizar para determinar la ausencia del límite en una sucesión. Por ejemplo, la sucesión   = (1)   , ∈ *, es no acotada, y por ello no tiene límite (nótese que se empleó la equivalencia de este teorema →≡~→~ ). Asimismo debemos aclarar que el recíproco de este teorema, en general, no es verdad, es decir, dela acotación de la sucesión no se deduce que la sucesión tenga límite (sea convergente); por ejemplo, la sucesión   = (1)   , ∈ *, es acotada, pues |  |= |(1)  |=1≤1∀  ∈ *, pero no tiene límite (sus primeros términos son -1; 1; -1; 1; -1; etc.) TEOREMA DE LA CONDICIÓN SUFICIENTE (De Karl Wierstrauss) Si una sucesión {  }  es monótona , a partir de cierto número, y acotada, ella tiene límite, es decir, la sucesión {  }  es convergente. El presente teorema es sobre la existencia de un límite de sucesión y no da el método para calcularla. Por esto frecuentemente se aplica para cualquier sucesión convergente (no necesariamente monótona) {  }  la igualdad. í  + =í    TEOREMAS LIGADOS CON DESIGUALDADES 1)   De la razón Dada la sucesión {  } , si í     =<1,  entonces í   =0.  2)   De la compresión (de las sucesiones encajadas) Sean las sucesiones {  },{  }  {  } , tales que   ≤   ≤    para todo   y además í   =í   =, í   =.  
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