Propiedades de Matrices

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  propiedades de matrices
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  AlgebraLineal:Propiedadesdel Algebrade MatricesDepartamentodeMatem´aticasPropiedades Propiedades del Algebrade Matrices Sean  A ,  B  y  C  matrices  m  ×  n  cualquiera, y sean  a ,  b  , y  c  escalares cualquiera. Entonces son v´alidas las siguientesafirmaciones: 1.  La suma de matrices es asociativa:( A  +  B ) +  C  =  A  + ( B  +  C ). 2.  La suma de matrices es conmutativa: A  +  B  =  B  +  A . 3.  La matriz  0  es el neutro bajo la suma: A  +  0  =  0  +  A  =  A . 4.  Cada matriz tiene un inverso aditivo y este esprecisamente el escalar  − 1 por la matriz: A  + ( − 1  ·  A ) = ( − 1  ·  A ) +  A  =  0 .  AlgebraLineal:Propiedadesdel Algebrade MatricesDepartamentodeMatem´aticasPropiedades 5.  El producto por escalares se distribuye sobre la suma dematrices: c   ·  ( A  +  B ) =  c   ·  A  +  c   ·  B 6.  La suma de escalares se distribuye sobre la multiplicaci´onpor matrices:( a  +  b  )  ·  A  =  a  ·  A  +  b   ·  A 7.  La multiplicaci´on por escalares es asociativa:( a  ·  b  )  ·  A  =  a  ·  ( b   ·  A ) 8.  El escalar 1 multiplicado por una matriz da comoresultado la matriz inicial:1  ·  A  =  A 9.  El escalar cero por una matriz da la matriz de ceros:0  ·  A  =  0 .  AlgebraLineal:Propiedadesdel Algebrade MatricesDepartamentodeMatem´aticasPropiedades 10.  La multiplicaci´on de matrices es asociativa: A  ·  ( B  ·  C ) = ( A  ·  B )  ·  C 11.  La multiplicaci´on de matrices se distribuye sobre la sumade matrices: 1  A  ·  ( B  +  C ) =  A  ·  B  +  A  ·  C  y 2  ( A  +  B )  ·  C  =  A  ·  C  +  B  ·  C 12.  Movilidad de los escalares en una multiplicaci´on: a  ·  ( A  ·  B ) = ( a  ·  A )  ·  B  =  A  ·  ( a  ·  B ) 13.  La matriz cuadrada con s´olo unos en la diagonal  I n  es laidentidad multiplicativa: I m  ·  A  =  A  ·  I n  =  A 14.  El resultado de multiplicar la matriz cero, de la dimensi´onadecuada, por cualquier matriz da como resultado lamatriz cero: 0  ·  A  =  A  ·  0  =  0  AlgebraLineal:Propiedadesdel Algebrade MatricesDepartamentodeMatem´aticasPropiedades Propiedades de laTranspuesta 1  La transpuesta de la transpuesta de una matriz  A  es otravez  A :  A T  T =  A 2  La transpuesta de una suma es la suma de lastranspuestas: ( A  +  B ) T =  A T +  B T 3  ( c   ·  A ) T =  c   ·  A T 4  La transpuesta de un producto es el producto de lastranspuestas pero en orden contrario( A  ·  B ) T =  B T ·  A T
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