Metodos regresion | Equations | Matrix (Mathematics)

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  regresion
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  REGRESIÓN POLINÓMICA    A mano: El procedimiento de mínimos cuadrados puede extenderse fácilmente y ajustar datos a un polinomio de grado m. Se tiene que la ecuación para el ajuste es la siguiente:                   Por mínimos cuadrados se tiene: ∑                          Que a la larga nos llevara al siguiente conjunto de ecuaciones:      ∑    ∑    ∑   ∑      ∑     ∑    ∑    ∑   ∑        ∑     ∑    ∑    ∑   ∑     . . .   ∑     ∑    ∑    ∑   ∑     Entonces el problema de determinar polinomios de grado m con mínimos cuadrados es equivalente a resolver un sistema de m+1 ecuaciones lineales simultáneas. Para la serie de datos obtenidos experimentalmente se hará un ajuste con un polinomio de segundo grado, con m=2 (grado que necesitamos) y n=5. Para realizarlo es necesario organizar una tabla de datos de la siguiente manera:    xi   y i  x i ^2 x i ^3 x i ^4 Xi*yi xi^2 yi 1 603 1 1 1 603 603 2 762 4 8 16 1524 3048 3 1115 9 27 81 3345 10035 4 1384 16 64 256 5536 22144 5 1966 25 125 625 9830 49150 Σ   15 5830 55 225 979 20838 84980 Es decir el conjunto general de ecuaciones queda establecido de la siguiente manera:                                 Se pasa el sistema de ecuaciones a una matriz:              Resolviendo el sistema por regla de Cramer se tiene:                                        Es decir el polinomio resultante es:         Para el error se halla el r 2  basados en la siguiente tabla: xi   y i  (yi -yprom)^2 (yi -ao - a1xi- a2(xi^2))^2 1 603 316969 5,094693878 2 762 163216 218,195102 3 1115 2601 3347,44898 4 1384 47524 3890,195102 5 1966 640000 464,0946939  Σ   5830 1170310 7925,028571 Así se obtiene que:                                    0,993228266    En Excel: La regresión en Excel se hizo tanto matricialmente como gráficamente por medio de la línea de tendencia. Para realizarlo matricialmente se elaboró la siguiente tabla de datos: xi   y i  x i ^2 x i ^3 x i ^4 Xi*yi xi^2 yi 1 603 1 1 1 603 603 2 762 4 8 16 1524 3048 3 1115 9 27 81 3345 10035 4 1384 16 64 256 5536 22144 5 1966 25 125 625 9830 49150 Σ   15 5830 55 225 979 20838 84980 Con ayuda de la anterior tabla se creó el siguiente sistema de ecuaciones en notación matricial: MATRIZ VARIABLES T. INDEPENDIENTES 5 15 55 a0 5830 15 55 225 a1 20838 55 225 979 a2 84980  Se halló la inversa por medio de la función MINVERSA: MATRIZ INVERSA 4,6 -3,3 0,5 -3,3 2,67142857 -0,42857143 0,5 -0,42857143 0,07142857 Por último, por medio de la función MMULT se halló el valor de las constantes de la expresión de regresión. SOLUCION a0 542,6 a1 8,22857143 a2 54,4285714 Para el método gráfico se graficaron los datos y se le colocó una línea de tendencia Polinómica de grado 2 con su respectivo r 2 , de esta manera se obtuvo:    En Scilab: Se realizó el siguiente script en scinotes, el cual es una función que requiere de dos parámetros x, y. Las siguientes líneas asignan las variables necesarias para la función: la primera es n que es el número de datos que están asignados al vector x, las cuatro variables siguientes son 7 sumas que y = 54.429x 2  + 8.2286x + 542.6 R² = 0.9932 050010001500200025000123456    y   i xi Polinomica-Proyectos
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