Metodo de Newton (1)

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  Este artículo describe una metodología en el método de Newton-Raphson para resolver sistemas de n ecuaciones no lineales en n variables.
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   1 Uso del Método de Newton   Raphson Tisalema Malqui Christian Paul christinpaul.t@gmail.com Steeven Armas steeventhelive@hotmail.com   Resumen  —  Este artículo describe una metodología en el método de Newton-Raphson para resolver sistemas de n ecuaciones no lineales en n variables. Palabras Clave- Método de Newton-Raphson, Ecuaciones no lineales. Abstract-This paper describes a methodology in the Newton-Raphson method for solving systems of n non-linear equations in n variables. Keywords - Newton-Raphson method, nonlinear equations. I. I  NTRODUCCIÓN  N el presente documento se revisara el uso del Método de  Newton, dicho método numérico fue descrito por Sir Isaac  Newton en De analysi per aequationes numero terminorum infinitas ('Sobre el análisis mediante ecuaciones con un número infinito de términos', escrito en 1669, este método de  Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que su convergencia global no está garantizada. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La mayoría de los textos de análisis numérico en el estudio de sistemas de ecuaciones no lineales sólo hace un tratamiento  para dos variables y se evita el caso de más de dos variables  para la deducción del método. Se presenta una alternativa metodológica y pedagógica para hacer menos difícil la comprensión de éste. La metodología es un resultado de la experiencia docente II. MARCO TEÓRICO A. EL MÉTODO DE NEWTON  –   RAPHSON PARA UNA ECUACIÓN NO LINEAL EN UNA VARIABLE. Sea f :[a,b] →ℜ,  f ∈  C² [a,b] y x k una estimación del cero de f en [a,b]. 2.1. Descripción del Método   Sea  f  : [ a , b ] -> R   función derivable definida en el intervalo real [ a , b ]. Empezamos con un valor inicial  x 0  y definimos para cada número natural n  Donde  f   ' denota la derivada de  f  .  Nótese que el método descrito es de aplicación exclusiva  para funciones de una sola variable con forma analítica o implícita conocible. Existen variantes del método aplicables a sistemas discretos que permiten estimar las raíces de la tendencia, así como algoritmos que extienden el método de Newton a sistemas multivariables, sistemas de ecuaciones, etcétera. 2.2. Obtención del Algoritmo Tres son las formas principales por las que tradicionalmente se ha obtenido el algoritmo de Newton-Raphson. La primera de ellas es una simple interpretación geométrica. En efecto, atendiendo al desarrollo geométrico del método de la secante, podría pensarse en que si los puntos de iteración están lo suficientemente cerca (a una distancia infinitesimal), entonces la secante se sustituye por la tangente a la curva en el punto. Así pues, si por un punto de iteración trazamos la tangente a la curva, por extensión con el método de la secante, el nuevo punto de iteración se tomará como la abscisa en el srcen de la tangente (punto de corte de la tangente con el eje X). Esto es equivalente a linealizar la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que contiene al punto (xo, f(xo))  y cuya pendiente coincide con la derivada de la función en el punto. La nueva aproximación a la raíz x1, se logra de la intersección de la función lineal con el eje X de abscisas. Matemáticamente:   2 2.3. Convergencia del Método El orden de convergencia de este método es, por lo menos, cuadrático. Sin embargo, si la raíz buscada es de multiplicidad algebraica mayor a uno (i.e, una raíz doble, triple, …), el método de Newton -Raphson pierde su convergencia cuadrática y pasa a ser lineal de constante asintótica de convergencia 1-1/m, con m la multiplicidad de la raíz. Existen numerosas formas de evitar este problema, como  pudieran ser los métodos de aceleración de la convergencia tipo Δ² de Aitken  o el método de Steffensen. Evidentemente, este método exige conocer de antemano la multiplicidad de la raíz, lo cual no siempre es  posible. Por ello también se puede modificar el algoritmo tomando una función auxiliar  g  (  x ) =  f  (  x )/  f'  (  x ), resultando: Su principal desventaja en este caso sería lo costoso que pudiera ser hallar  g  (  x ) y  g'  (  x ) si  f  (  x ) no es fácilmente derivable. Por otro lado, la convergencia del método se demuestra cuadrática para el caso más habitual sobre la base de tratar el método como uno de punto fijo: si  g   '( r  )=0, y  g''  ( r  ) es distinto de 0, entonces la convergencia es cuadrática. Sin embargo, está sujeto a las particularidades de estos métodos.  Nótese de todas formas que el método de Newton-Raphson es un método abierto: la convergencia no está garantizada por un teorema de convergencia global como  podría estarlo en los métodos de falsa posición o de bisección. Así, es necesario partir de una aproximación inicial próxima a la raíz buscada para que el método converja y cumpla el teorema de convergencia local.  B. Estimación del Error Se puede de mostrar que el método de α Newton -Raphson tiene convergencia cuadrática: si es raíz, entonces: Para una cierta constante C. Esto significa que si en algún momento el error es menor o igual a 0,1, a cada nueva iteración doblamos (aproximadamente) el número de decimales exactos. En la práctica puede servir para hacer una estimación aproximada del error: Error relativo entre dos aproximaciones sucesivas: Con lo cual se toma el error relativo como si la última aproximación fuera el valor exacto. Se detiene el proceso iterativo cuando este error relativo es aproximadamente menor que una cantidad fijada previamente. C. Desventajas del Método Aunque el método de Newton-Raphson en general es muy eficiente, hay situaciones en que presenta dificultades. Un caso especial es en el de las raíces múltiples. En algunos casos es posible que para raíces simples se presenten dificultades por su lenta convergencia III. MÉTODO DE NEWTON-RAPSHON PARA ECUACIONES NO LINEALES Este método es un método de aproximación de soluciones de sistemas de ecuaciones no lineales, por ejemplo, =  −4 (1)   (−2)  +(+4)=16 (1)   −4 (1)   (2)  Observemos que resolver este sistema de ecuaciones consiste en hallar los puntos Xo, Yo de intersección de la  parábola asociada a la primera ecuación, la cual puede reescribirse como =(−2)  −4 (1,)  De latex (1.a) observemos que la parábola abre hacia arriba y que tiene vértice en el punto 2,-4; mientras que de 1,b se   3 obtiene que intersecta el eje horizontal en los  puntos (0,0) y (4,0). Por otra parte, asociada a la ecuación 2 tenemos la circunferencia de radio 4 centrada en el punto (2,-4). El lector podrá graficar sin ninguna dificultad ambos objetos geométricos simultáneamente y observar que deben existir dos puntos de intersección entre la parábola y la circunferencia dadas. Recordemos que en el caso unidimensional, el método de  Newton-Raphson, para aproximar raíces de ecuaciones de la forma f(x) =0 (3) de modo que al aproximar puntos fijos de la función g(x) estamos aproximando soluciones de la ecuación f(x) =0 es decir, raíces de la función f(x). La construcción unidimensional del método de Newton-Raphson se basa en el uso de la aproximación, a primer orden o lineal, de la función f(x). IV. ALGUNAS APLICACIONES DEL MÉTODO DE  NEWTON-RAPHSON Son muy variadas las aplicaciones del método de  Newton. Este método se puede usar para aproximar las soluciones complejas de una ecuación polinomial de grado n ≥  2 Otra aplicación para destacar está en la solución de  problemas de flujos de potencia en ingeniería eléctrica. También se encuentran aplicaciones mecánicas en la solución de ecuaciones que determinan la posición en la dinámica de un mecanismo o sistema V. CONCLUSIONES -   De las leyes de Newton podemos sintetizar que en ausencia de fuerzas, un cuerpo en descanso seguirá en descanso, y un cuerpo moviéndose a una velocidad constante en línea recta, lo continuará haciendo indefinidamente. -   Cuando se aplica una fuerza a un objeto este se acelera, la aceleración es en dirección a la fuerza y proporcional a su intensidad y es inversamente  proporcional a la masa que se mueve.   -   Para concluir se puede decir que los métodos mencionados son muy útiles y prácticos dependiendo del caso o de lo que se necesite obtener. VII. R  EFERENCIAS  [1] BURDEN and FAIRES. Análisis Numérico, Grupo Editorial Iberoamérica., 1985. [2] CHIARELLA, C., W. Charlton, and A. W. Roberts (1975). Optimum chute profiles in gravity flow of granular materials: A discrete segment solution method. Transactions of the ASME, Journal of Engineering for Industry, Series B, 97, 10-13. [3] COHEN A.M. Análisis Numérico. Editorial Reverté, S.A., 1977 ANEXOS.
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