Inroduccion Algebra lineal Howard Anton 5ta. Edicion

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  1. INTRODUCCI~N AL ALGEBRA LINEAL 2. VERSIóN AUTORIZADA EN ESPAÑOL DE LA OBRA PUBLICADA EN INGLÉS CON EL TíTULO: ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA O JOHNW ILEY& SONSI,N…
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  • 1. INTRODUCCI~N AL ALGEBRA LINEAL
  • 2. VERSIóN AUTORIZADA EN ESPAÑOL DE LA OBRA PUBLICADA EN INGLÉS CON EL TíTULO: ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA O JOHNW ILEY& SONSI,N C. COLABORADEON RLA TRADUCCI~N: HUGO VILLAG~MEZV ELÁZQUEZ LA PRESENTACI~N Y DISPOSICI~N EN CONJUNTO DE INTRODUCCIóN AL ALGEBRA LINEAL SON PROPIEDAD DEL EDITOR. NINGUNPAAR TE DE ESTA OBRA PUEDE SER REPRODUCIDA o TRANSMITIDA, MEDIANTE NINGUN SISTEMA O MÉTODO, ELECTR6NICOOMECÁNlCO (INCLUYENDO EL FOTOCOPIADO, LA GRABACIóN O CUALQUIER SISTEMA DE RECUPERACI~NY ALMACENAMIENTO DE INFORMACI~N)S, IN CONSENTIMIENTO POR ESCRITO DEL EDITOR. DERECHORSES ERVADOS: O 2001, EDITORIAL LIMUSA, S.A. DE C.V. GRUPO NORIEGA EDITORES BALDER9A5S, MÉx l c o , D.F. C.P. 06040 '-S$. (5) 521 -21 -05 O1 (800) 7-06-91-00 (5) 51 2-29-03 + limusa@noriega.com.mx www.noriega.com.mx CANIEM NÚM. 121 ,. -? r 1 .; ,. I i. -+; - QUINTAR EIMPRESI~N .T t4 ;S1 y ! ; o!? r - HECHO EN M É x l c o DE LA SEGUNDA EDICIÓN ISBN 968-1 8-5192-7
  • 3. y Lauren
  • 4. I PROLOG0 Así como en la edición anterior. en esta nueva edición se proporciona un tra-tamiento básico del álgebra lineal, idóneo para estudiantes que están cursando el primer o segundo años de facultad. Mi objetivo es presentar los fundamentos del álgebra lineal de la forma más clara posible. por lo que el aspecto pedagógico es esencial. No se requiere haber estudiado cálculo, aunque se presentan ejerci-cios y ejemplos para estudiantes que tienen los conocimientos necesarios; estos ejercicios y ejemplos están claramente indicados y se pueden omitir sin pér-dida de continuidad. RESUMEN DE LOS CAMBIOS EN ESTA EDICIóN Aunque esta edición tiene mucho en común con la edición anterior, se trata de una revisión sustancial. ge intentado mantener la claridad y el estilo de la edición previa, y a la vez reflejar las necesidades cambiantes de una nueva generación de estudiantes. Con esta intención he puesto en práctica varias recomendaciones hechas por el Linear Algebra Curriculum Study Group. También he hecho algu-nos cambios de organización que deben facilitar a los instructores cubrir los fun-damentos de todos los temas esenciales, inclusive con severas restricciones de tiempo. Posteriormente, en este prólogo se presenta una descripción de los cam-bios capítulo a capítulo, aunque a continuación se presenta un resumen de los cambios más importantes: Mayor énfasis en las relaciones que hay entre los conceptos: Uno de los objetivos importantes de un curso de álgebra lineal es establecer la trama 7
  • 5. intrincada de las relaciones que hay entre sistemas de ecuaciones, matrices, determinantes, veclores. transformaciones lineales y eigenvalores. En esta edición. la trama de relaciones se desarrolla a través del siguiente crescendo de teoremas que vinculan cada nueva idea con ideas precedentes: 1.5.3, 1.6.4. 2.3.6, 4.3.4, 63.9. 6.2.7, 6.4.5 y 7.1.5. Estos teoremas no sólo hacen más coherente el panorama algebraico, sino también sirven como fuente constante de repaso. Transición mb suave hacia la abstracción: La transición de R" a es-pacios vecloriales generales es traumática para casi todos los estudiantes. de modo que he intentado suavizarla analizando Rn en detalle, recalcando los conceptos geométricos subyacentes antes de proceder con el estudio de espacios vectoriales generales. Exposición temprana de transformaciones lineales y eigenvalores: A fin de asegurar que el material sobre transformaciones lineales y eigenvalores no se pierda al final del curso, algunos de los conceptos básicos que se re-lacionan con tales temas se desarrollan más pronto en el texto y luego se repasan cuando el tcma se desarrolla con mayor profundidad en la parte final del texto. Por ejemplo, las ecuaciones características se analizan brevemente en la sección sobre determinantes. Las transformacioncs linea-les de H" a R'" se abordan inmediatamente después que se introduce K". y se analizan más tarde en el contexto de las transformaciones linealcs gencrales. Estos repasos ayudan a asegurar que los estudiantes se ramiliari-cen con los fundanlentos de todos los temas más importantes, inclusive cuando el tiempo apremia. Mayor énfasis en la conceptualización: Para mantener el interés actual cn la conceptualización y en las aplicaciones crecientes del álgebra lineal a las gráficas, he puesto mayor énfasis en los aspectos geométricos de las rotaciones. proyecciones y reflexiones en y en R3. Nuevo material sobre mínimos cuadrados y descomposición QR: Se ha añadido nuevo material sobre mínimos cuadrados y descomposición QH, en respuesta al interés creciente en estos temas. Más demostraciones: Se han añadido varias demostraciones que antes habían sido omitidas. Todas las demostraciones en el texto han sido escritas en un estilo adecuado para principiantes. y se ha puesto especial cuidado a fin de asegurar que el carácter accesible y amable del texto no haya sido afectado de manera adversa por las demostraciones adicionales. Quienes deseen un curso matemáticamente más forrnal encontrarán que esta nueva edición es más idónea para tal efecto. y quienes deseen un curso más conceptual tendrhn mayor elección en las demostraciones. DETALLES DE LOS CAMBIOS DE ESTA EDICIÓN La amplia aceptación de la edición anterior ha sido muy gratificante. y apre-cio las sugerencias constructivas recibidas de parte de los usuarios y revisores. Se han revisado algunas secciones del testo para presentarlas con más claridad, y se han
  • 6. erectuando cambios sustanciales ente1 contenido y su OrgallhCiÓn, en rcspuesta a las sugerencias tanto de los usuarios como de los revisores. así como de las cCO-mendaciones hechas por el Linear Algebra ('urriculum Study (;roup. Hay muchas formas en las que es posible ordenar el material en un curso de algebra lineal: el ordenamiento que he elegido para 10s capítulos refleja m i in-clinación por el axioma de que es necesario proceder de 10 conocido 21 10 des-conocido y de lo concreto a lo abstracto. A continuación se presenta un resumen capítulo a capítulo de 10s cambios más importantes en esta nueva edición. Capítulo 1. Se presenta una nueva sección sobre matrices de forma espc-cial: diagonal, triangular y simétrica. Al modificar ligeramente el material. no se incrementó el número de secciones de este capítulo. Capítulo 2. A este capítulo determinante se ha añadido nuevo material introductorio sobre eigenvalores, eigenvectores y ccuaciones característi-cas. Este material se repasa y posteriormente se analiza con más detalle en el capítulo 7. Se ha añadido la demostración de la igualdad det(AR) = det(A)det(B). Capítulo 3. Se presenta nueva información sobre ecuaciones vectorialcs de rectas y planos, y la interpretación geomktrica de los determinantes 2 x 2 ~ 3 x 3 . Capítulo 4. Este es un nuevo capítulo dedicado exclusivamente a R". Se desarrollan conceptos fündamentales y se presenta una introducción a las transformaciones lineales de Rn a R"'. recalcando el aspecto geométrico dc las proyecciones, rotaciones y reflexiones. A diferencia de la edición anterior, este material se presenta ahora antes del desarrollo de los espacios vectoriales generales. El material de este capítulo se analiza más tarde, en el contesto de espacios ,ectoriales generales. Capítulo S. Este capítulo corresponde al capítulo 4 de la edición anterior. Se han añadido muchas de las demostraciones que se habían omitido. Tam-bién se presenta nuevo material sobre el wronskiano, para quienes han cs-tudiado Cálculo, y se incluye nuevo material sobre los cuatro espacios fun-damentales de una matriz. Capítulo 6. Este capítulo corresponde al capítulo 5 de la edición anterior. Se presenta nuevo material sobre complementos ortogonalcs. descomposi-ción QR y mínimos cuadrados. Capítulo 7. Este capítulo corresponde al capítulo 6 de la edición anterior. Se ha repasado el material desarrollado antes sobre eigenvalores y elgen-vectores. Se incluye nuevo material sobre las multiplicidades geométrica y algebraica. así como una explicación mejorada sobre los requisitos para la diagonalización. Capítulo 8. Este capítulo corresponde al capítulo 7 de la edición an-terior. El material se ha vuelto a escribir sustancialmente. a fin de reflejar el hecho de que las transformaciones lineales de Rn a Hm se introduje-ron en el capítulo 4. Capítulo 9. Este capítulo corresponde al capítulo 8 y a las secciones 9. I y 9.2 de la edición anterior. Se ha vuelto a escribir la sección sobre la
  • 7. 10 Prólogo geometría de los operadores lineales sobre R2 para poder fundamentar los conceptos desarrollados en la sección 4.2. Capítulo 10. Este capítulo corresponde al capítulo 7 de la edición anterior. Los cambios son menores. ACERCA DE LOS EJERCICIOS En todos los ejercicios de cada sección se empieza con problemas de rutina, se avanza hacia problemas más sustanciales y se concluye con problemas teóricos. AI final de casi todos los capítulos se presenta un conjunto de ejercicios complemen-tarios que pueden presentar más dificultad y forzar al estudiante a extraer ideas de todo un capítulo, en vez de hacerlo solamente de unas ección específica.
  • 8. GUÍA PARA EL INSTRUCTOR PROGRAMAS POSIBLES PARA UN CURSO NORMAL He revisado una gran cantidad de posibilidades para cursos de álgebra lineal. La variación entre las instituciones es amplia, aunque los cursos tienden a caer en dos categorías: una que consta de entre 20 y 30 lecciones (excluyendo los exámenes y los repasos) y otra que consta de entre 35 y 40 lecciones (excluyendo los exámenes y los repasos). Con base en mi análisis de estas posibilidades. he proporcionado dos patrones para elaborar un curso propio. Los patrones se deben ajustar a fin de reflejar los intereses y requisitos propios, aunque deben ser útiles como punto de partida. En el patrón largo se supone que se cubren todas las secciones del capítulo, y en el patrón corto se supone que el instructor selecciona material para ajustarse al tiempo disponible. Dos cambios en la organización del texto facilitan la construcción de cursos más cortos: la breve introducción a los eigenvalores y eigenvectores que se pre-senta en las secciones 2.3 y 4.3 y la colocación previa de las transformaciones lineales de R" a Rm en el capítulo 4. Estos cambios aseguran que el estudiante se familiarice un poco con estos conceptos fundamentales, inclusive si el tiempo disponible para abordar los capítulos 7 y S es limitado. Observé también que los estudiantes que ya conocen el material pueden omitir el capítulo 3 sin pérdida de continuidad.
  • 9. 12 Guía para el instructor Capítulo 1 Capítulo 2 Capítulo 4 Capítulo S Capítulo 6 Capítulo 7 Capítulo 8 Total Patrón largo Patrón corto 7 lecciones 6 lecciones 4 lecciones 3 lecciones 3 lecciones 3 lecciones X lecciones 7 lecciones 6 lecciones 3 lecciones 4 lecciones 3 lecciones 6 lecciones 2 lecciones 38 lecciones 27 lecciones VARIANTES DEL CURSO NORMAL Son posibles muchas variantes del curso normal. Por ejemplo. es posible crcar un patrón largo opcional siguiendo la asignación de tiempo del patrón corto y dedicando las 11 lecciones restantes a algunos dc los temas de los cdphlOS 9 y 1 0 . CURSO ORIENTADO A APLICACIONES El capítulo 9 contiene aplicaciones selectas de álgebra lineal que son esencial-mente de naturaleza matemática. Los instructores interesados en una variedad más amplia de aplicaciones pueden considerar la otra versión de este texto, Elementary Linear Algebra, Aplications Version. de Howard Anton y Chris Rorres. En esc texto se proporcionan numerosas aplicaciones a los negocios. biología, ingeniería. economía. ciencias sociales y ciencias físicas.
  • 10. I t AGRADECIMIENTOS 1 Expreso mi aprecio por la útil orientación proporcionada por las siguientes personas: REVISORES Y COLABORADORES DE EDICIONES ANTERIORES EN INGLÉS Steven C. Althoen, University of Michigan-Flint C. S. Ballantine, Oregon State University Erol Barbut, University of Idaho William A. Brown, University of Maine Joseph Buckley, Western Michigan University Thomas Cairns, University of Tulsa Douglas E. Cameron, University of Akron Bomshik Chang, University of British Columbia Peter Colwell, Iowa State University Carolyn A. Dean, University of Michigan Ken Dunn, Dalhousie University Bruce Edwards, University of Florida Murray Eisenberg, University of Massachusetts Harold S. Engelsohn, Kingshorough Comm. College Garret Etgen, University ofHouston Marjorie E. Fitting, San Jose State University Dan Flath, University of South Alabama David E. Flesner, Gettysburg College Mathew Gould, Vanderbilt University Ralph P. Grimaldi, Rose-Hulman Institute William W. Hager, University of Florida Collin J. Hightower, University of Colorado Joseph F. Johnson, Rutgers University Robert L. Kelley, University of Miami Arlene Kleinstein Myren Krom, Calfornia State University Lawrence D. Kugler, University of Michigan Charles Livingston, Indiana University Nicholas Macri, Temple University Roger H. Marty, Cleveland State University Patricia T. McAuley, SUNY-Binghamton Robert M. McConnel, University of Tennessee Douglas McLeod, Drexel University Michael R. Meck, Southern Connecticut State Univ. Craig Miller, University of Pennsylvania Donald P. Minassian, Butler University Hal G. Moore, Brigham Young University Thomas E. Moore, Bridgewater State College Robert W. Negus, Rio Hondo Junior College Bart S. Ng, Purdue University 13
  • 11. I-í I Agradec.citrrientos James Osterburg, University of Cincinnati William F. Trench, Trinity University Michael A. Penna, Indiana-Purdue University Joseph L. Ullman, University of Michigan Gerald J. Porter, University of Pennsylvania W. Vance Underhill, East Texas State University F. P. J. Rimrott, University qf Toronto James R. Wall, Auburn University C. Ray Rosentrater, Westmont College Arthur G. Wasserrnan, University of Michigan Kenneth Schilling, University of Michigan-Flint Evelyn J. Weinstock, Glassboro State College William Scott, University of Utah Rugang Ye, Stanford University Donald R. Sherbert, University of Illinois Frank Zorzitto, University of Waterloo Bruce Solomon, Indiana University Daniel Zwick, University of Vermont Mary T. Treanor, Valparaiso University REVISORES Y COLABORADORES DE LA SÉPTIMA EDICIÓN EN INGLÉS, SEGUNDA EN ESPAÑOL Mark B. Beintema, Southern Illinois University Paul Wayne Britt, Louisiana State University David C. Buchthal, University of Akron Keith Chavey, University of Wisconsin-River Falls Stephen L. Davis, Davidson College Blake DeSesa, Drexel University Dan Flath, Uniwrsity of South Alabama Peter Fowler, California State University Marc Frantz, Indiatza-Purdue University Sue Friedman, Bernard M. Baruch College, CUNY William Golightly, College qf Charleston Hugh Haynsworth, College qf Charleston Tom Hem, Bow!ling Green State University J. Hershenov, Queens College. CUNY Steve Humphries, Brigham Young Universitt3 Steven Kahan, Queens College, CUNY Andrew S. Kim, Westfield State College John C. Lawlor, University of Vermont M. Malek, California State University at Huyward J. J. Malone, Worcester Polytechnic Institute William McWorter, Ohio State University Valerie A. Miller, Georgia State University Hal G. Moore, Brigham Young University S. Obaid, San Jose State University Ira J. Papick, University of Missouri-Columbia Donald Passman, University of Wisconsin Robby Robson, Oregon State University David Ryeburn, Simon Fraser University Ramesh Sharma, University of New Haven David A. Sibley, Pennsylvania State University Donald Story, Universio, of Akron Michael Tarabek, Southern Illinois University SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS, LECTURA DE PRUEBAS E INDICE Michael Dagg, Numerical Solutions, Inc. Susan L. Friedman, Bernard M. Baruch College, CUNY Mareen Kelley, Northern Essex Communih. College Randy Schwartz, Schoolcraft College Daniel Traster (Student), Yale Universio. COMPLEMENTOS Benny Evans, Oklahoma State University Charles A. Grobe, Jr., Bowdoin College
  • 12. Agradecimientos / 15 Elizabeth M. Grobe IntelliPro, Inc. Jerry Johnson, Oklahoma State University Randy Schwartz, Schoolcraft College OTROS COLABORADORES Un agradecimiento especial a los siguientes profesores, quienes leyeron profundamente el material del texto e hicieron contribuciones significativas a la calidad del nivel matemático y de exposición: Stephen Davis, Davidson College Blaise DeSesa, Drexel University Dan Flath, University of South Alabama Marc Frantz, Indiana-Purdue University William McWorter, Ohio State University Donald Passman, University of Wisconsin David Ryeburn, Simon Fraser University Lois Craig Stagg, University of Wisconsin-Milwaukee También deseo expresar mi agradecimiento a: Barbara Holland, mi editora, quien me ayudó a moldear al concepto de esta nueva edición y cuyo entusiasmo incluso convirtió en divertido el arduo tra-bajo (alguna vez). Ann Berlin, Lucille Buonocore y Nancy Prinz del Departamenro de Produc-ción de Wiley, por preocuparse tanto por la calidad de este trabajo y propor-cionarme un apoyo extraordinario. Lilian Brady, cuyo ojo para los detalles y sentido estético infalible mejoró grandemente la exactitud del texto y la belleza de la tipografía. Joan Carafiello y Sharon Prendergagst por su soberbio trabajo en la coordina-ción de la miríada de detalles que mágicamente produjeron las respuestas y los complementos a tiempo. El grupo en Hudson River Studio por tratar con tanto tacto a un autor rigu-roso. Mildred Jaggard, mi asistente, quien coordinó todos los detalles del texto desde la lectura de pruebas hasta el índice con pericia consumada, y quien pa-cientemente toleró mi idiosincrasia. HOWARADN TON
  • 13. CAPíTULO 1 CAPíTULO 2 CAPíTULO 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES 21 l. l. Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales 2 1 1.2. Eliminación gaussiana 29 1.3. Matrices y operaciones con matrices 47 1.4. Inversas: Reglas de la aritmética de matrices 61 1.5. Matrices elementales y un método para determinarn" 75 1.6. Otros resultados sobre sistemas de ecuaciones e invertibilidad 85 1.7. Matrices diagonales, triangulares y simétricas 94 DETERMINANTES 107 2.1. La función determinante 107 2.2. Evaluación de determinantes por reducción de renglones 115 2.3. Propiedades de la función determinante 121 2.4. Desarrollo por cofactores; Regla de Cramer 13 1 VECTORES EN LOS ESPACIOS BlDlMENSlONAL Y TRIDIMENSIONAL. 149 3. l. Introducción a los vectores (geométrica) 147 3.2. Norma de un vector; Aritmética vectorial 159 3.3. Producto punto: Proyecciones 165 17
  • 14. 3.4. Producto cruz 175 3.5. Rectas y planos en el espacio tridimensional 189 CAPITULO 4 ESPACIOS VECTORIALES EUCLIDIANOS 203 4. l . Espacio euclidiano n dimensional 203 4.2. Transformaciones lineales de R" a Rm 218 5.3. Propiedades de las transformaciones lineales de R" a Rm 239 CAPíTULO 5 ESPACIOS VECTORIALES GENERALES 257 5. 1. Espacios vectoriales reales 257 5.2. Subespacios 265 5.3. Independencia lineal 277 5.4. Base y dimensión 287 5.5. Espacio renglón. espacio columna y espacio nulo 306 5.6. Rango y nulidad 322 CAPíTULO 6 ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR 339 6.1. Productos interiores 339 6.2. Ángulo y ortogonalidad en espacios con producto interior 353 6.3. Bases ortonormales: Proceso de Gram-Schmidt; Descomposición QR 3 67 6.4. Mejor aproximación: Mínimos cuadrados 384 6.5. Matrices ortogonales: Cambio de base 395 CAPíTULO 7 EIGENVALORES, EIGENVECTORES 41 5 7. l. Eigenvalores y eigenvectores 4 15 7.2. Diagonalización 426 7.3. Diagonalización ortogonal 437 CAPíTULO 8 TRANSFORMACIONES LINEALES 447 8. I , Transformaciones lineales generales 447 8.2. Núcleo y recorrido 461 8.3, Transformaciones lineales inversas 468 8.4. Matrices de transformaciones lineales generales 478 8.5. Semejanza 595
  • 15. Contenido / 19 CAPíTULO 9 TEMAS COMPLEMENTARIOS 513 9. l. Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales S 13 9.2. Geometría de los operadores lineales
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