Inecuaciones Polinómicas y Racionales

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  SEMANA 2 Departamento de Ciencias –  Cajamarca Página | 1   TEMA : Inecuaciones Polinómicas y Racionales Aplicaciones de Inecuaciones Polinómicas y Racionales INECUACIONES POLINÓMICAS Son de la siguiente forma. 0...)(0...)( 11    onnonn  a xa xa x P oa xa xa x P    0...)(0...)( 11    onnonn  a xa xa x P oa xa xa x P    Donde 0 1 , ,..., n a a a  son constantes y 0 n a   , n Z      Ejemplos:   1.  Resolver 3 2 2 3 8 3 0  x x x      Solución: Se descompone el polinomio en producto de factores, para ello se calculan las raíces dividiendo por Ruffini. Por lo tanto, 3 2 2 3 8 3 ( 1)( 3)(2 1)  x x x x x x         Luego, la inecuación es: 3 2 2 3 8 3 0  x x x       ( 1)( 3)(2 1) 0  x x x      P.c. : 1  x    3  x     12  x     Luego, ubicamos los puntos críticos en la recta real -   + - + -1 -  12  3 Como la inecuación es de la forma ( ) 0  P x    el conjunto solución será la unión de los intervalos donde aparecen el signo (-). 2 -5 -3 0 2 -3 -8 -3 -1 -2 5 3 2 1 0 3 6 3 ( x+  1)   ( x-3  )   (2 x+  1)    SEMANA 2 Departamento de Ciencias –  Cajamarca Página | 2   Entonces el C.S. =     1, 1 ,32          2.  Resolver: 3 2 5 6 0  x x x      Solución: Factorizando se tiene: 0)3()2(    x x x  Los puntos críticos son: x  = -3, x = -2, x = 0 . Los ubicamos en la recta real, tenemos: - + - + -3 -2 0 Como la desigualdad es 0  , cogemos los intervalos que tienen el signo +, es decir: Cs:     3, 2 0,  x        3-  Resolver: 4 3 2 2 5 8 17 6 0  x x x x        Solución: Factorizando se tiene: 0)1)(3)(2)(12(    x x x x . Los puntos críticos son:  x = - 2, x = 1/2, x = 1, x = 3 , los ubicamos en la recta real. + -  + -  + -2 ½ 1 3 Como nuestra desigualdad es 0  , cogemos los intervalos que tienen el signo -, es decir: Cs=   12, 1,32        Observación: a) Cuando la multiplicidad de las raíces es par  , entonces en ese punto crítico se repetirá el signo . Ejemplo 1. Resolver 4 ( 2) ( 2)( 4) 0  x x x      Solución: Los valores críticos son: 2  x    (tiene multiplicidad par) 4  x    2  x    + - + + -4 -2 2 Como nuestra desigualdad es 0  , cogemos los intervalos que tienen el signo +, es decir:   -  SEMANA 2 Departamento de Ciencias –  Cajamarca Página | 3   - C.S.=   , 4 2, 2        Ejemplo 2. Resolver 081423344   x x x x  Solución: Factorizando  se tiene:        04212    x x x  Los valores críticos son 2   x  , 4   x , y 1   x  que tiene multiplicidad par, es decir gráficamente tendríamos. + - + - + -2 1 4 Como nuestra desigualdad es 0  , cogemos los intervalos que tienen el signo +, es decir: Cs. =           ,412,   Ejemplo 3. Resolver: 5 4 3 2 9 14 34 15 25 0  x x x x x        Solución . Factorizando   se tiene:       2 2 1 1 5  x x x    < 0   Los puntos crítico son: 1   x , no tiene multiplicidad par, los otros dos 1, 5  x x      poseen multiplicidad par. En la recta real tendríamos - - + + -1 1 5 Como    0   x P   , entonces Cs =      , 1 1      b)   Cuando la multiplicidad de las raíces es impar  , entonces en ese punto crítico el signo no tendrá variación alguna. Ejemplo 1. Resolver       5 3 1 7 0  x x x       Solución Los valores críticos son 3  x   , 1  x    , y 7  x    que tiene multiplicidad impar. Graficando en la recta real se tiene:  - + - + -3 1 7  SEMANA 2 Departamento de Ciencias –  Cajamarca Página | 4   Como    0  P x   , el conjunto solución es la unión de los intervalos con signo  positivo, es decir Cs:     3, 1 7,     Observación : Cuando los factores de    x P   son lineales y cuadráticos, siendo los ceros del factor cuadrático no reales. En este caso es importante recordar la siguiente propiedad (se vio en inecuaciones cuadráticas) Sea: c xb xa   2  una expresión cuadrática con 0  a  y supongamos que el discriminante de la fórmula cuadrática 04 2   cab  , luego i)   Si 0  a , entonces 0 2   c xb xa  para todo  R x  . ii)   Si 0  a , entonces 0 2   c xb xa  para todo  R x  . Ejemplo 1: Resolver 3785  234   x x x x   0    Solución: Factorizando se tiene 4 3 2 5 8 7 3 0  x x x x               2 1 1 3 0  x x x x       El factor    2 1  x x   su discriminante es negativo (  0  ) y por propiedad el factor   2 1  x x    siempre es positivo, luego debemos exigir que el resto de  producto de factores sea menor o igual que cero, con la finalidad de conservar el sentido de la desigualdad srcinal, es decir     1 3 0  x x     no habiendo restricción alguna. Graficando los valores críticos El conjunto solución es la unión de los intervalos con el signo -. Es decir   3, 1     Ejemplo 3: Resolver    013  23   x x x   Solución:    x P  =     0112313  223   x x x x x x   Nuevamente por la propiedad anterior, el primer factor es menor que cero para todo número real, luego para mantener el sentido de la desigualdad srcinal debemos exigir que    01    x     + -1 -3 + -
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