In t Room m Veracruz

Please download to get full document.

View again

All materials on our website are shared by users. If you have any questions about copyright issues, please report us to resolve them. We are always happy to assist you.
 13
 
  ;)
Related documents
Share
Transcript
  Olimpiada Mexicana de Matem´aticas VeracruzEnero de 2005  ´Indice general 1. Combinatoria 2 1.1. Permutaciones y Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2. Teor´ıa de N´umeros 12 2.1. Los enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. Propiedad de Tricotom´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4. Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5. Algoritmo de la Divisi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3. Geometr´ıa 22 3.1. Rectas coincidentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2. ´Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3. Tri´angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4. Criterios de Semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271  Cap´ıtulo 1Combinatoria 1.1. Permutaciones y Combinaciones Definici´on 1.  Dado  n  ∈  N  denotaremos por  n ! al producto de todos losn´umeros naturales menores o iguales que  n ; esto es, n ! =  n · ( n − 1) · ( n − 2) · ... · 3 · 2 · 1 Definici´on 2. 0! = 1 Principio 1.  Fundamental de Conteo (P.F.C.)  Si existen   m  formas de que ocurra un evento  A  y   n  formas de que ocurra otro evento B distinto;el total de formas en que pueden ocurrir A y B juntos es   m · n . Ejemplo 1.  Considere las ciudades  A ,  B ,  C   y  D  como se indica en la figura.Para ir de la ciudad  A  a la ciudad  B  existen 3 caminos, de  B  a  C   hay 4caminos y de  C   a  D  s´olamente se tienen 2 caminos. Calcule el n´umero derutas posibles para ir de  A  a  D  pasando por  B  y  C   y regresar sin usar sinutilizar alguno de los caminos utilizados al ir de  A  a  D . A B C D 2  CAP ´ ITULO 1. COMBINATORIA  3 Soluci´on.  Por el  Principio Fundamental de conteo , tenemos que lasrutas posibles para ir de  A  a  D  son el n´umero de caminos para ir de  A  a  B por el n´umero de caminos para ir de  B  a  C   por el n´umero de caminos parair de  C   a  D ; esto es: A −→ D  = 3 · 4 · 2 = 24Ahora, como no podemos ocupar el mismo camino que esogimos para ir de A  a  D  para regresar, tenemos que nos queda 1 camino para regresar de  D  a C  , 3 caminos para regresar de  C   a  B  y 2 caminos para regresar de  B  a  A ;asi, A ←− D  = 2 · 3 · 1 = 6Finalmente, usando una vez m´as el  Principio Fundamental de Conteo ,tenemos que las maneras en que podemos ir de  A  a  D  y regresar sin usar elmismo camino son 144 rutas. Definici´on 3.  Un arreglo de objetos en un  orden  determinado se llama una permutaci´on . Ejemplo 2.  Si tenemos un conjunto de tres elementos  { a,b,c } ; determinarel n´umero de permutaciones de esos tres elementos si no se repiten objetos. 3 2 1 Soluci´on.  Pensemos en el arreglo de los tres elementos en funci´on de loslugares; es decir, cada arreglo consta de tres lugares; en el primero, podemoscolocar cualquiera de los tres elementos que tenemos; en el segundo lugars´olo podemos colocar dos elementos (pues ya se ha colocado uno en el lugaranterior) y finalmente en el ´ultimo lugar s´olo podemos colocar un elemento;as´ı, se tiene que, aplicando el Principio Fundamental de Conteo, la soluci´ones 6 permutaciones. Teorema 1.  El total de formas en que se pueden permutar   n  objetos tomados de   n  en   n  es  P  nn  =  n !
Related Search
Similar documents
View more
We Need Your Support
Thank you for visiting our website and your interest in our free products and services. We are nonprofit website to share and download documents. To the running of this website, we need your help to support us.

Thanks to everyone for your continued support.

No, Thanks
SAVE OUR EARTH

We need your sign to support Project to invent "SMART AND CONTROLLABLE REFLECTIVE BALLOONS" to cover the Sun and Save Our Earth.

More details...

Sign Now!

We are very appreciated for your Prompt Action!

x