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  Herramientas ´Utiles Leonardo Ignacio Mart´ınez Sandoval ´AlgebraIdentidades ã  1 n ( n +1)  =  1 n  −  1 n +1 ã  1 + 2 + 3 +  ···  + n  =  n ( n +1)2 ã  1 + 2 2 + 3 2 +  ···  + n 2 =  n ( n +1)(2 n +1)6 ã  1 + 3 + 5 +  ···  + (2 n −  1) =  n 2 ã  1 + a + a 2 +  ···  + a n =  a n +1 − 1 a − 1  si  a   = 1 El truco de las razones  Si  ab  =  cd  entonces  a + cb + d  =  a − cb − d  =  ab , es decir, podemos sumar orestar arriba y abajo y obtenemos la misma fracci´on. Factorizaciones y productos notables ã  a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b ) ã  a 2 + 2 ab + b 2 = ( a + b ) 2 ã  a 2 −  2 ab + b 2 = ( a − b ) 2 = ( b − a ) 2 ã  a n − b n = ( a − b )( a n − 1 + an −  2 b +  ···  + ab n − 2 + b n − 1 ) ã  Si  n  es impar, en la identidad anterior podemos substituir  b  por  − b  y obtener  a n + b n =( a + b )( a n − 1 − a n − 2 b +  ··· − ab n − 2 + b n − 1 ). ã  Factorizaci´on de Sophie-Germain:  a 4 + 4 b 4 = ( a 2 + 2 b 2 −  2 ab )( a 2 + 2 b 2 + 2 ab ) ã  x 3 + y 3 + z 3 −  3 xyz  = ( x + y  + z )( x 2 + y 2 + z 2 − xy  − yz  − zx ) ã  x 3 + y 3 + z 3 −  3 xyz  == ( x + y  + z ) ( x − y ) 2 ( y − z ) 2 ( z − x ) 2 2 ã  ( x − a )( x − b ) =  x 2 −  ( a + b ) x + ab ã  ( x − a )( x − b )( x − c ) =  x 3 −  ( a + b + c ) x 2 + ( ab + bc + ca ) x − abc Las ´ultimas dos identidades nos permiten poner los coeficientes de un polinomio de grado doso tres en t´erminos de sus ra´ıces. Estas son algunas de las identidades de Vietta.Si tienes una ecuaci´on cuadr´atica  ax 2 + bx + c , entonces sus ra´ıces (es decir, los valores de  x para los cuales esta expresi´on se hace cero) son  − b + √  b 2 − 4 ac 2 a  y  − b −√  b   2 − 4 ac 2 a  .1  Exponentes y logaritmos Propiedades de los exponentes: ã  a 0 = 1 ã  a b + c =  a b · a c ã  ( a b ) c =  a b · c ã  ( ab ) c =  a c · b c ã  a − 1 =  1 a El logartimo base  a  de un n´umero  b , que denotaremos por log a b  es el n´umero al cual se tieneque elevar  a  para obtener  b . Por ejemplo, log 2  8 = 3 pues al elevar 2 a la potencia 3 obtenemos8. A partir de las propiedades de los exponentes se obtienen las siguentes propiedades paralos logaritmos: ã  log a  1 = 0 ã  log a ( b · c ) = log a b + log a c ã  log a ( b c ) =  c log a b ã  log a  c log b  c  = log b a ã  log a ( 1 b ) =  − log a b Desigualdades Los n´umeros reales se dividen positivos, negativos y el cero. Los positivos se colocan a laderecha del 0 y los negativos a su izquierda. Una multiplicaci´on por  − 1 la podemos pensarcomo una rotaci´on de 180 ◦  centrada en 0 de la recta real. Hacer dos veces esto deja fija larecta real, por lo que ( − 1)( − 1) = 1 y en general ( − a )( − a ) =  a 2 .Estas observaciones nos permiten afirmar que para cualquier real  r  tenemos  r 2 ≥  0.Las desigualdades se pueden sumar, si  a > c  y  b > d  entonces  a  +  b > c  +  d . Multiplicandouna desigualdad por un n´umero positivo se preserva y por uno negativo se invierte, es decir,si  a > b  entonces  ra > rb  si  r >  0 y  ra < rb  si  r <  0.El valor absoluto de un n´umero  | x |  es su distancia al cero. Como las distancias son positivas,si el n´umero es negativo entonces se le debe cambiar de signo para hacerlo positivo. Porejemplo,  | 3 |  = 3,  | −  2 , 5 |  = 2 , 5,  | 0 |  = 0. Podemos calcular la distancia entre dos n´umeros por | x − y | , lo cual es lo mismo que al mayor restarle el menor. La desigualdad del tri´angulo diceque  | a + b | ≤ | a |  +  | b | .Algunas desigualdades algebr´aicas: ã  r 2 ≥  0 ã  Desigualdad entre la media geom´etrica y la media aritm´etica. Para  a,b  ≥  0, tenemosque  a + b 2  ≥√  ab . La igualdad se da s´olo cuando  a  =  b . ã  Desigualdad del reacomodo. Si  a 1  ≥  a 2  ≥ ··· ≥  a n  y  b 1  ≥  b 2  ≥ ··· ≥  b n  entonces:2  a 1 b 1  + a 2 b 2  +  ···  + a n b n  ≥  a 1 b n  + a 2 b n − 1  +  ···  + a n b 1 Algunas desigualdades geom´etricas: ã  Dado un punto fijo  P  , el conjunto de puntos cuya distancia a  P   es constante es unacircunferencia con centro en  P  . Los puntos interiores tienen una distancia menor a  P   ylos exteriores una mayor. ã  Dada una recta  l  y un punto  P  , la distancia m´as corta de  P   a un punto de  l  se hacecuando en  l  se elige el pie de la perpendicular desde  P  . A esta longitud se le llama ladistancia de  P   a  l ã  Los lados de un tri´angulo son positivos. El lado m´as grande es opuesto al ´angulo m´as grande, y el m´as chico es opuesto al ´angulo m´as chico. ã  En un tri´angulo con lados  a ,  b  y  c  se tienen las desigualdades del tri´angulo:  a  +  b > c , b  +  c > a ,  c  +  a > b . Este resultado es invertible, es decir, si los tres n´umeros realespositivos  a ,  b  y  c  cumplen que  a + b > c ,  b + c > a  y  c + a > b , entonces se puede hacerun tri´angulo de lados  a ,  b ,  c . ã  Desigualdad de Ptolomeo. Para un cuadril´atero  ABCD  se tiene  AC   · BD  ≤  AB  · CD + BC   · DA . La igualdad se da si y s´olo si los v´ertices del cuadril´atero est´an en una circun- ferencia (decimos que el cuadrl´atero es c´ıclico). Notaci´on de suma El s´ımbolo   ni =1 a i  se utiliza para indicar la suma de los n´umeros  a 1 ,  a 2 ,  ... ,  a n . Por ejemplo,para escribir la suma de los primeros  n  n´umeros podemos escribir   ni =1 i  y para escribir lasuma de los primeros  n  cuadrados podemos escribir   ni =1 i 2 . El uso de  i  es arbitrario, enrealidad se puede usar cualquier s´ımbolo que pensamos como un contador. Algunos ejemplos: ã   10 i =1 i  = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 ã   4  j =0  2  j  −  1 = ( − 1) + (1) + (3) + (5) + (7) = 15 ã   8 k =5 k (10  − k ) = (5  ·  5) + (6  ·  4) + (7  ·  3) + (8  ·  2)La notaci´on de suma tiene las siguientes propiedades: ã   ni =1  1 =  n ã   ni =1 c · a i  =  c  ni =1 a i ã   ni =1 a i  + b i  =   ni =1 a i  +   ni =1 b i Parte entera  Para un n´umero real  x , denotamos por   x   al mayor entero que sea menoro igual a  x . Los siguientes ejemplos son ilustrativos:   10 , 2   = 10,  − 12   =  − 12,  256   = 4, − 11 , 5   =  − 12,  √  79   = 8,   10000 π   = 31415 y  − 10000 π   =  − 31416.La notaci´on   x   se lee “parte entera de  x ”. La parte entera tiene las siguientes propiedades: ã  Si  x  es un n´umero entero, entonces   x   =  x . ã  Para cualquier real se tiene que   x  ≤  x  ≤  x + 1  .3  ã  La operaci´on parte entera es idempotente:   x   =   x  . ã  Desigualdad del tri´angulo:   x + y  ≤  x   +   y  .4
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