Estimación de Parametros

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  estiumaciones de parametros
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  ESTADÍSTICA INFERENCIAL Hugo Saavedra Saavedra 1. ESTIMACIÓN PUNTUAL   Si a partir de las observaciones de una muestra se calcula un solo valor como estimación de un  parámetro de la población desconocido , el procedimiento se denomina estimación puntual . Por ejemplo queremos estimar la nota media de los alumnos de bachiller en la asignatura de matemáticas que notaremos . Sea X la variable aleatoria que indica la nota obtenida por cada estudiante. Tomamos una muestra de tamaño n y denotamos la nota media de la muestra. Si al tomar una muestra de 100 estudiantes obtenemos que la media es 6´2, este número lo tomaríamos como estimativo de. Decimos que 6,2 es una estimación puntual de. Un estimador puntual T  de un parámetro es cualquier estadística que nos permita, a partir de los datos muestrales, obtener valores aproximados del parámetro. PARÁMETROS MÁS USUALES Y SUS ESTIMADORES PARÁMETRO SÍMBOLO ESTIMADOR Media de la población µ Media de la muestra n x    X  nii     1  Varianza de la población σ 2 Varianza de la muestra 1)( 122    n X  xS  nii  Proporción de la población p Proporción muestral n x p   ˆ  Diferencia de medias µ 1  - µ 2  Diferencia de medias muestrales 21  X   X      Diferencia de proporciones p 1  - p 2  Diferencia de proporciones muestrales n xn x p p  2121  ˆˆ    Para indicar que T es un estimador del parámetro escribimos =T. Con esto queremos decir que empleamos la expresión dada mediante T para obtener valores próximos al valor del parámetro. Es muy probable que haya error cuando un parámetro es estimado. Es cierto que si el número de observaciones al azar se hace suficientemente grande, éstas proporcionarían un valor que casi sería semejante al parámetro; pero a menudo hay limitaciones de tiempo y de recursos y se tendrá que trabajar con unas cuántas observaciones. Para poder utilizar la información que se tenga de la mejor forma posible, se necesita identificar las estadísticas que sean “buenos” estimadores. Hay cuatro criterios que se suelen aplicar para determinar si una estadística es un buen estimador: Insesgamiento, eficiencia, consistencia y suficiencia EJERCICIOS SOBRE ESTIMACIÓN PUNTUAL     1.   De una población se escogieron al azar 10 personas y se les tomo la estatura. Los resultados en cm fueron: 160, 170, 170, 150, 160, 180, 160, 170, 130, 150. Estime la media y la varianza.(Sol. 169,14).  2.   En una universidad se desea conocer la opinión de los estudiantes acerca de ciertas medidas que han tomado los directivos. De 120 estudiantes consultados, 90 estuvieron a favor. Estime la proporción de estudiantes que están a favor de las medidas. (Sol. 75%).  3.   Un conjunto residencial está formado por 200 apartamentos. Se seleccionaron 18 apartamentos y se observó que, en promedio, viven 4,5 personas por apartamento. Estime el total de personas que viven en el conjunto residencial. ( Sol. 900 personas).  4.   De un lote de 1.000 licuadoras se escogen aleatoriamente 30 y se encontró que 2 de ellas estaban estropeadas; ¿cuántas licuadoras se estima que estén estropeadas? (Sol. 67 licuadoras).   2. EL ERROR ESTÁNDAR   Un mismo estimador ofrece distintos valores para distintas muestras del mismo tamaño extraídas de la misma población. Por lo tanto deberíamos tener una medida de la variabilidad del estimador respecto del parámetro que se trata de estimar. Esta variabilidad se mide en términos de la desviación estándar del estimador, la cual recibe el nombre de error estándar.   El error estándar de un estimador   T de un parámetro es la desviación estándar del estimador.  Así por ejemplo, si tomamos como estimador de, entonces el error estándar está dado por . Error de estimación  es el valor absoluto de la diferencia entre una estimación particular y el valor del parámetro.  En realidad por cada valor estimado del parámetro se tiene un error de estimación por lo general diferente. Sin embargo, es posible fijar un intervalo dentro del cual se encontrarán la mayoría de los valores de error de estimación para un estimador y parámetro dados. En la tabla siguiente se dan las fórmulas de los errores de estimación para algunos estimadores y los estimadores para tales errores. Los estimadores se usan cuando los parámetros que se incluyen en las fórmulas de los errores de estimación son desconocidos.   PARÁMETRO ESTIMADOR ERROR ESTÁNDAR ESTIMADOR DEL ERROR  = N = EJERCICIOS SOBRE EL ERROR ESTÁNDAR 1.   Una agencia de encuesta selecciona 900 familias y calcula la proporción de éstas que utilizan cierto tipo de detergente. Si la proporción estimada es 0´35 ¿Cuál es el error estándar estimado? (Sol. 0,016).  2.   En el estudio de cierta característica X de una población se sabe que la desviación estándar es 3. Se va a escoger una muestra de tamaño 100, halle el error estándar de la media muestral. (Sol. 0,3).  3.   Se escogió al azar una muestra de 10 clientes de un banco y se les preguntó el número de veces que habían utilizado el banco para llevar a cabo alguna transacción comercial. Los resultados fueron los siguientes: 0, 4, 2, 3, 2, 0, 3, 4, 1, 1. Estime el error estándar del número de transacciones promedio. ( Sol. 0,47).   3. ESTIMACÓN DE PARÁMETROS MEDIANTE INTERVALOS DE CONFIANZA   Nos proponemos determinar dos números entre los cuales se halla el parámetro estudiado con cierta certeza. El procedimiento para obtener un intervalo (de confianza) para un parámetro, la media, por ejemplo, requiere de la determinación de un estimador del parámetro y de la distribución del estimador. Un intervalo de confianza para un parámetro es un intervalo construido alrededor del estimador del parámetro de tal manera que podemos esperar que el verdadero valor del parámetro quede incluido en dicho intervalo. El nivel de confianza de un intervalo es una probabilidad (expresada en porcentaje) que representa la seguridad de que el intervalo encierra el verdadero valor del parámetro. En el ejemplo el nivel de confianza es del 95%.En general el nivel de confianza se expresa en la forma 100(1 -)%. (1-)=0´95. El valorrepresenta la probabilidad de que el parámetro quede fuera del intervalo y en este caso es 0´5 FÓRMULAS.  MEDIA POBLACIÓN NORMAL VARIANZA CONOCIDA   O VARIANZA DESCONOCIDA Y N>30  EJERCICIO1   POBLACIÓN NORMAL VARIANZA DESCONOCIDA Y N<30  EJERCICIO2   DIFERENCIA POBLACIONES NORMALES INDEPENDIENTES. VARIANZAS CONOCIDAS.  EJERCICIO3   DE   MEDIAS POBLACIONES NORMALES INDEPENDIENTES. VARIANZAS IGUALES DESCONOCIDAS  EJERCICIO4   PROPORCIÓN SE RECOMIENDA EL USO DE ESTA FÓRMULA EN MUESTRAS DE TAMAÑO GRANDE  EJERCICIO5   DIFERENCIA DE PROPORCIONES   SE RECOMIENDA EL USO DE ESTA FÓRMULA EN MUESTRAS DE TAMAÑO GRANDE  EJERCICIO6   VARIANZA POBLACIONES NORMALES  EJERCICIO7   COCIENTE DE VARIANZAS   MUESTRAS INDEPENDIENTES DE POBLACIONES NORMALES  ; b= EJERCICIO8  
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