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  ´ A LAS VARIEDADES INTRODUCCION DIFERENCIABLES Antonio D´ıaz Miranda ´Indice general 1. Notaci´ on y complementos de c´ alculo 1.1. Notaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Funciones anal´ıticas y funciones meseta . . . . . 1.3. Inmersiones, submersiones y difeomorfismos . . . 1.4. Variaciones sobre el teorema de la funci´on inversa 1.5. Subvariedades de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . 2. Variedades diferenciabl
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  INTRODUCCI´ON A LAS VARIEDADESDIFERENCIABLES Antonio D´ıaz Miranda  ´Indice general 1. Notaci´on y complementos de c´alculo 5 1.1. Notaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Funciones anal´ıticas y funciones meseta . . . . . . . . . . . . 91.3. Inmersiones, submersiones y difeomorfismos . . . . . . . . . . 121.4. Variaciones sobre el teorema de la funci´on inversa . . . . . . . 171.5. Subvariedades de  R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6. Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2. Variedades diferenciables 27 2.1. Atlas de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2. Variedades diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3. Topolog´ıa de variedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4. Subvariedades de  R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.5. Aplicaciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.6. Difeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.7. Variedad producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.8. Particiones de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.9. Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3. Espacio tangente a una variedad 63 3.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2. Vectores tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.2.1. Cambio de sistema de coordenadas . . . . . . . . . . . 703.3. Diferencial de una funci´on en un punto . . . . . . . . . . . . . 713.4. Aplicaci´on tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.5. Caso de las subvariedades de  R n . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.6. Algunos teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.7. Aplicaci´on tangente y curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.8. Espacio tangente de una variedad producto . . . . . . . . . . . 903.9. Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933  4  ´ INDICE GENERAL 4. Campos de vectores 97 4.1. Fibrado tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.2. Concepto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.3. Curvas integrales de campos de vectores . . . . . . . . . . . . 1104.4. Flujo y corchete de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.5. Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5. Teorema de Frobenius 143 5.1. Subvariedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1435.1.1. Espacio tangente a una subvariedad. . . . . . . . . . . 1565.2. Sistemas diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.3. Teorema de Frobenius local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.4. Teorema de Frobenius global. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665.5. Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
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