CURSO-2015-162

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  EJERCICIOS DE LOS EXÁMENES DE ANÁLISIS MATEMÁTICAS II CURSO 2015-2016   Ejercicio 1º.   (2,5 puntos) Sabiendo que     220 1 coslim( ) x ax bx xsen x  es finito y vale uno, calcula los valores de a y b. SOLUC: b = 0 a = 1/2   Ejercicio 2º.-   Considera la función  f:[1,)R   definida por:  x x x x f    2 )(  a)   (2 puntos) Determina las asíntotas de f. b)   (0,5 puntos) Estudia la posición relativa de la gráfica de f respecto a sus asíntotas. SOLUC: a) AV: No hay AH: No hay AO: 122  yx     (a la derecha)    b) La gráfica de f está por debajo de la AO Ejercicio 3º.-  Considera la función )12)(( )(   xb xa x f   donde a y b son números reales a) (1 punto) Si se sabe que la función f tiene una asíntota en x = 2, y que f(0) = 2. Halla los valores de a y de b. b) (1,5 puntos) Estudia y calcula el resto de las asíntotas de f.   SOLUC: a) a = 4 b = 2 b) AV: x = 2 x = 1/2 AH: y = 0 AO: No hay   Ejercicio 4º .-  Sea la función continua  f:RR   definida por:  010)( 2 2  xsi xe xsik  x  x f   x  a)   (1,25 puntos) Calcula el valor de k.   b)   (1,25 puntos)  Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.   SOLUC: a) k = 1 b) AV: y = 2x + e -3 Ejercicio 5º .-   (2,5 puntos) Sea la función 1  f:(,)R    definida por: 22 1  x(Lnx) f(x)(x)   Estudia la existencia de asíntota horizontal para la gráfica de f. En caso de que exista, hállala. SOLUC: Tiene asíntota horizontal por la derecha y vale y = 0 (el eje de abscisas)   Ejercicio 6º.-   Considera las funciones f y g dadas por: 23223 )()(42)( b xax xg x x x x f     siendo a y b números reales.   a)   (1,5 puntos) Determina las asíntotas de f. b)   (1 punto) Si se sabe que la recta de ecuación y = 2x – 4 es una asíntota oblicua de la función g, halla los valores de a y b. SOLUC: a) AV: x = -2 AH: No hay AO: 2  yx      b) a = 2 b = - 1   Ejercicio 7º.-   (2,5 puntos) Calcula:      0 lim x tg x sen xx sen x   SOLUC: 3   Ejercicio 8º.-  Se considera la función  f:RR   definida por: 2 4)(  x x f      a)   (1 punto) Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = 2.   b)   (1,5 puntos)  Determina el punto de la grafica de f en el que la recta tangente es perpendicular a la recta de ecuación x + 2y – 2 = 0   SOLUC: a) 2141   x y    b) (-1, 3)   Ejercicio 9º .-  Considera la función definida, para x ≠  0, por: 11)(   x x ee x f    a) (2 puntos) Determina las asíntotas de f. b) (0,5 puntos) Estudia la posición relativa de la gráfica de f respecto a sus asíntotas. SOLUC: a) AV: x = 0 (eje de abscisas) AH: y = -1 (a la izquierda) y = 1 (a la derecha) AO: No hay  b) 0  x limf(x)      0  x limf(x)      En infinito la gráfica de la función f(x) está por encima de su asíntota horizontal, y en menos infinito está por debajo   Ejercicio 10º .-  Sea la función continua 1  f:(,)R    definida por:   1002)(  xsi xba  xsie x  x f   x  a)   (1,5 puntos) Determina a y b sabiendo que f es derivable en todo su dominio.   b)   (1 punto)  Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0.   SOLUC: a) 21 ab    b) Recta tangente 2  yx       Recta perpendicular 2  yx        Ejercicio 11º.   (2,5 puntos) Considera la función polinómica  f:RR   que viene dada por la expresión:     3 2 ( ) f x ax bx cx d  Halla los coeficientes a, b, c y d sabiendo que f presenta un extremo local en el punto de abscisa x = 0, que (1, 0) es punto de inflexión de la gráfica de y que la pendiente de la recta tangente en dicho punto es -3. SOLUC: a = 1 b = -3 c = 0 d = 2 Ejercicio 12º.-   Sea la función  f:RR  d efinida por 2  f(x)x|x|     a)   (1 punto)  Estudia la derivabilidad de f y calcula su función derivada.  b)   (1 punto)  Determina los intervalos de monotonía de f y calcula los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) c) (0,5 puntos)  Haz un esbozo de la gráfica de f. SOLUC: a) La función es derivable en R – {0} Su función derivada es  012012)('  xsi x xsi x x f     b) Crece: (-1/2, 0) U (1/2, ∞) Decrece: (  - ∞, -1/2) U (0, 1/2). MÁXIMO relativo: (0, 0) mínimos en: (-1/2, -1/4) y (1/2, -1/4) Ejercicio 13º.-   (2,5 puntos) Queremos fabricar una caja con base cuadrada, de tal manera que la altura de la caja más el perímetro de la base sumen 60 cm. Determina sus dimensiones para que contenga el mayor volumen posible.   SOLUC: Función a optimiza: volumen de la caja   23 604 V(x)xx    siendo x la longitud de uno de los lados de la base  Las dimensiones de la caja son: 10 cm x 10 cm x 20 cm Ejercicio 14º .-   (2,5 puntos) Determina a y b sabiendo que b > 0 y que la función  f:RR   definida como:  01)1(02)cos( )( 2  xsi xb x Lna xsi x xa  x f    es derivable. SOLUC: a = b = 2 Ejercicio 15º .-   Sea la función 0  f:(,)R    definida por: )3ln()( 2  x x x f     a)   (1,5 puntos) Determina, si existen, el punto o los puntos de la gráfica de f en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta de ecuación x – 2y + 1 = 0.  b)   (1 punto) Halla la ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal (perpendicular) a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 3. SOLUC: a) Existe sólo un punto y es (3, lu18) b) Recta tangente: 131822  yxln       Recta normal: 2618  yxln        Ejercicio 16º.-   Sea la función d d efinida por 1  x e f(x) x   para x ≠ 1 a)   (1 punto)  Estudia y calcula las asíntotas de f.  b)   (1 punto)  Estudia y calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) de la función f. c)   (0,5 puntos)  Esboza la gráfica de f. SOLUC: a) AV: Hay una x = 1 AH: Hay una por la izquierda y = 0 (el eje de abscisas) AO: No hay  b) Crece: (  2, ω) Decrece: (  - ω, 1) U (1, 2). Hay un m ínimo en (2, e  2  ) Ejercicio 17º.-   (2,5 puntos) Halla los valores a, b y c sabiendo que la gráfica de la función: 2 () axb fx xc   tiene una asíntota vertical en x = 1, una asíntota oblicua de pendiente 2, y un extremo local en el punto de abscisa x = 3.   SOLUC: a = 2 b = 6 c = -1 Ejercicio 18º.-   Sea la función continua  f:RR   definida por:  010)( 2 2  xsi xe xsik  x  x f   x  a)   (1,25 puntos) Determina el valor de la constante k.  b)  (1,25 puntos) Halla la ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal (perpendicular) a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.   SOLUC: a) k = 1 b) Recta tangente: y = 2x – 3 + e Recta normal: 1122  yxe       Ejercicio 19º .-   (2,5 puntos) Sabiendo que     220 1 cos( )lim( ) x ax bx xsen x  es finito y vale uno, calcula los valores de a y b. SOLUC: a = 1/2 b = 0 Ejercicio 20º .-   (2,5 puntos) Un granjero desea vallar un terreno rectangular de pasto adyacente a un río. El terreno debe tener 180 000 m 2  para producir suficiente pasto para su ganado. ¿Qué dimensiones tendrá el terreno rectangular de modo que utilice la mínima cantidad de valla, si el lado que da al río no necesita vallado? SOLUC: Función a optimiza: longitud de la valla que rodea el terreno   360000  L(x)x x    siendo x la longitud del lado del terreno paralelo al  río  Las dimensiones del terreno son: 600 m el lado paralelo al río y 300 m el lado perpendicular al río Ejercicio 21º.   Sea la función  f:RR   definida por: 2 )(  x e x f     a)   (0,5 puntos) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0.    b)   (2 puntos) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, la recta x = 2 y la recta tangente obtenida en el apartado anterior.  
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