Algebra lineal para estudiantes de ingenieria y ciencias

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  1. PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA Y CIENCIAS 2. PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA Y CIENCIAS Juan Carlos Del Valle Sotelo Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores…
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  • 1. PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA Y CIENCIAS
  • 2. PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA Y CIENCIAS Juan Carlos Del Valle Sotelo Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Estado de México ˜
  • 3. Page (PS/TeX): 1 / 4, COMPOSITE Director General México: Editor sponsor: Coordinadora editorial: Supervisor de producción: Miguel Ángel Toledo Castellanos Pablo Eduardo Roig Vázquez Marcela I. Rocha Martínez Zeferino García García ÁLGEBRA LINEAL PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA Y CIENCIAS Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor. DERECHOS RESERVADOS © 2011 respecto a la primera edición por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. Edificio Punta Santa Fe Prolongación Paseo de la Reforma 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegación Álvaro Obregón C.P. 01376, México, D. F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736 A Subsidiary of Companies, Inc.The McGraw-Hill ISBN: 978-970-10-6885-4 1234567890 1098765432101 Impreso en México Printed in Mexico
  • 4. Page (PS/TeX): 5 / 5, COMPOSITE A la memoria de Esther, mi amada madre; a mi hermano Manuel; a mis hijas Miriam y Samantha En un universo quiz´a infinito inconcebiblemente antiguo es una dicha saber que tengo mi origen en una amorosa madre y en un hermano que me cuid´o como a un hijo y por eso es mi padre y percibir una infinit´esima parte de m´ı en la mirada de dos peque˜nos seres que en momentos dif´ıciles han sido tan grandes.
  • 5. Page (PS/TeX): 6 / 6, COMPOSITE
  • 6. Page (PS/TeX): 7 / 7, COMPOSITE Contenido Agradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIII Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV PARTE I MATRICES, SISTEMAS Y DETERMINANTES CAPÍTULO 1 Matrices y sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3 1 1.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3 1 1.1 1.1.1 Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3 1 1.1 1.1.2 Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 1.1 1.1.3 Matrices especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1 1.1 1.1.4 Propiedades de las operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1 1.1 1.1.5 Matrices con n´umeros complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12 1 1.2 Sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1 1.1 1.2.1 Definiciones, soluciones y forma matricial de sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . .. 15 1 1.1 1.2.2 Matrices escalonadas y sistemas escalonados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 1.1 1.2.3 Operaciones de rengl´on para matrices, equivalencia por filas y soluciones 1 1.1 1.2.3 de sistemas escalonados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22 1 1.1 1.2.4 M´etodo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 1.1 1.2.5 M´etodo de Gauss-Jordan y sistemas con soluci´on ´unica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1 1.1 1.2.6 Sistemas homog´eneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31 1 1.1 1.2.7 Estructura de las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1 1.1 1.2.8 Sistemas lineales con n´umeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1 1.3 Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1 1.1 1.3.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1 1.1 1.3.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 CAPÍTULO 2 Matrices invertibles y determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1 2.1 Matrices invertibles y sus inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1 1.1 2.1.1 Definici´on y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1 1.1 2.1.2 Matrices invertibles y sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1 1.1 2.1.3 M´etodo de Gauss-Jordan para hallar la inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68 1 1.1 2.1.4 Matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 1 1.1 2.1.5 Inversas de matrices con componentes complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 1 2.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1 1.1 2.2.1 Desarrollo por cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75 1 1.1 2.2.2 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 80 1 1.1 2.2.3 M´etodo de la adjunta para hallar la inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 1 1.1 2.2.4 Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 1 1.1 2.2.5 Determinantes de matrices con componentes complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 1 2.3 Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 1 1.1 2.3.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 1 1.1 2.3.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 VII
  • 7. Page (PS/TeX): 8 / 8, COMPOSITE VIII CONTENIDO PARTE II ESPACIOS VECTORIALES, PRODUCTO INTERIOR, NORMAS, VALORES Y VECTORES PROPIOS CAPÍTULO 3 Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 113 1 3.1 Geometr´ıa de los espacios Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 113 1 1.1 3.1.1 El plano cartesiano R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 1 1.1 3.1.2 Interpretaci´on geom´etrica del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 1 1.1 3.1.3 El espacio vectorial Rn , geometr´ıa y propiedades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 1 1.1 3.1.4 La desigualdad de Schwarz, ´angulos entre vectores y ortogonalidad . . . . . . . . . . . . 123 1 3.2 Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 1 1.1 3.2.1 Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 131 1 1.1 3.2.2 Propiedades elementales de los espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 138 1 1.1 3.2.3 Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 1 1.1 3.2.4 Combinaciones lineales y subespacios generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 1 3.3 Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 1 1.1 3.3.1 Criterios de independencia lineal en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 1 3.4 Bases y dimensi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 1 1.1 3.4.1 Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 158 1 1.1 3.4.2 Dimensi´on, extracci´on de bases y compleci´on de un conjunto L.I. a una base . . . . 160 1 1.1 3.4.3 Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 1 3.5 Espacios vectoriales sobre los n´umeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 1 3.6 Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 1 1.1 3.6.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 1 1.1 3.6.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 CAPÍTULO 4 Espacios con producto interior y espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 235 1 4.1 Espacios con producto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 235 1 1.1 4.1.1 Definiciones, ejemplos y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 236 1 1.1 4.1.2 Ortogonalidad y norma inducida por el producto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 1 1.1 4.1.3 Desigualdad de Schwarz y ´angulo entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 252 1 1.1 4.1.4 Proyecciones, proceso de ortogonalizaci´on, factorizaci´on QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 1 1.1 4.1.5 Aproximaci´on ´optima de un vector por elementos de un subespacio . . . . . . . . . . . . 283 1 4.2 Espacios vectoriales normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 303 1 1.1 4.2.1 Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 303 1 1.1 4.2.2 Distancia en espacios vectoriales normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 1 1.1 4.2.3 Normas que provienen de productos interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 317 1 1.1 4.2.4 Normas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 324 1 1.1 4.2.5 Construcci´on de normas en espacios de dimensi´on finita a partir de normas en Rn 334 1 1.1 4.2.6 Aproximaciones ´optimas en espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 1 1.1 4.2.7 ¿Qu´e norma utilizar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 341 1 4.3 Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 1 1.1 4.3.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 1 1.1 4.3.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales, valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 1 5.1 Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 415 1 1.1 5.1.1 Definici´on, ejemplos y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 1 1.1 5.1.2 N´ucleo e imagen de una transformaci´on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 1 5.2 Representaciones matriciales de transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 433 1 1.1 5.2.1 Vectores de coordenadas, cambio de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 1 1.1 5.2.2 Representaciones matriciales de un operador lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 1 1.1 5.2.3 Representaciones matriciales de transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 1 1.1 5.2.4 Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
  • 8. Page (PS/TeX): 9 / 9, COMPOSITE CONTENIDO IX 1 5.3 Valores y vectores propios, diagonalizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 1 1.1 5.3.1 Valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 457 1 1.1 5.3.2 Diagonalizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 1 1.1 5.3.3 Valores propios complejos y diagonalizaci´on sobre C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 1 1.1 5.3.4 Operadores autoadjuntos y matrices sim´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 1 5.4 Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 1 1.1 5.4.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 1 1.1 5.4.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 PARTE III APLICACIONES, USO DE TECNOLOGÍA, MÉTODOS NUMÉRICOS CAPÍTULO 6 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581 1 6.1 Matrices de incidencia y teor´ıa de grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 581 1 6.2 Redes de conducci´on y principios de conservaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 589 1 1.1 6.2.1 Flujo vehicular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590 1 1.1 6.2.2 Circuitos el´ectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591 1 1.1 6.2.3 Balance qu´ımico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595 1 6.3 An´alisis insumo-producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596 1 1.1 6.3.1 Modelo para econom´ıa abierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596 1 1.1 6.3.2 Modelo para econom´ıa cerrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602 1 1.1 6.3.3 Singularidad de la matriz de Leontief para el modelo de econom´ıa cerrada . . . . . . 604 1 1.1 6.3.4 Inversa de la matriz de Leontief para el modelo de econom´ıa abierta y m´etodo de 1 1.1 6.3.4 aproximaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605 1 6.4 Programaci´on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613 1 1.1 6.4.1 Enfoque geom´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613 1 1.1 6.4.2 M´etodo simplex para el problema est´andar de programaci´on lineal . . . . . . . . . . . . . 620 1 1.1 6.4.3 Restricciones generales y m´etodo simplex de dos fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631 1 1.1 6.4.4 Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641 1 6.5 Teor´ıa de juegos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 644 1 1.1 6.5.1 Juegos estrictamente determinados y puntos silla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645 1 1.1 6.5.2 Estrategias y pagos esperados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 646 1 1.1 6.5.3 Estrategias ´optimas y valor esperado para juegos matriciales con matriz de pagos 1 1.1 6.3.4 2×2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648 1 1.1 6.5.4 Estrategias ´optimas y valor esperado con programaci´on lineal para juegos 1 1.1 6.3.4 matriciales con matriz de pagos m×n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652 1 1.1 6.5.5 Filas y columnas recesivas o dominantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657 1 6.6 Cadenas de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658 1 6.7 Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 666 1 6.8 Optimizaci´on de funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671 1 1.1 6.8.1 Problemas f´ısicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 672 1 1.1 6.8.2 C´alculo diferencial en espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679 1 1.1 6.8.3 C´alculo diferencial para funcionales en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698 1 1.1 6.8.4 Extremos locales de funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706 1 1.1 6.8.5 Extremos locales y valores propios de la matriz hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709 1 1.1 6.8.6 Condiciones necesarias para que cierto tipo de funcionales en espacios de 1 1.1 6.3.4 dimensi´on infinita alcancen valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716 1 1.1 6.8.7 Din´amica de un monopolista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725 1 1.1 6.8.8 Ep´ılogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727 1 6.9 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728
  • 9. Page (PS/TeX): 10 / 10, COMPOSITE X CONTENIDO CAPÍTULO 7 Uso de tecnología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761 1 7.1 La calculadora HP 50g y ´algebra lineal . . . . . . . . . . . . . . .
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