07-Técnicas de Optimización

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  Se presenta un documento académico para comprender el concepto de optimización en una variable y multivariable.
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  U7 – Técnicas de Optimización ClásicaFundamentos de Ingeniería EléctricaPosgrado en Ingeniería Eléctrica del Instituto Tecnológico de La Laguna   1 TÉCNICAS DE OPTIMIZACIÓN CLÁSICA INTRODUCCIÓN Las técnicas de optimización son herramientas matemáticas que tienen comoobjetivo la maximización de beneficios, digamos de la eficiencia de un procesoo la minimización de esfuerzos o pérdidas, digamos de las pérdidas de unmaterial para elaborar un producto.Dado que la medida de un esfuerzo requerido, medida de pérdidas o medidade beneficios puede expresarse como una función ( función objetivo ) de variasvariables, el proceso de optimización se puede definir como el proceso debúsqueda de aquellas variables que minimizan o maximizan el valor de lafunción.El proceso de optimización con la búsqueda de la minimización o maximizaciónde una función objetivo se trata del mismo problema, simplemente con elnegativo de la función se obtiene el máximo o con la función se obtiene elmínimo; visualizar la siguiente figura:El parámetro o variable que minimiza o maximiza la función objetivo es lamisma para cualquiera de los casos; en x=x* se obtiene el mínimo de lafunción o el máximo de la función negativa.  U7 – Técnicas de Optimización ClásicaFundamentos de Ingeniería EléctricaPosgrado en Ingeniería Eléctrica del Instituto Tecnológico de La Laguna   2 Adicionalmente a esta consideración, las siguientes operaciones sobre lafunción objetivo no modificarán la solución óptima de la variable encontrada:1.   Multiplicación o división de la función objetivo por una constante positiva2.   Suma o resta de una constante a la función objetivoVisualizar la siguiente figura:Se puede decir que no existe un solo método para resolver todos losproblemas de optimización de forma eficiente, sino que se han desarrolladouna gran cantidad de métodos de optimización para resolver diferentes tiposde problemas. Existen técnicas de optimización que se les conoce comotécnicas de programación matemática o determinísticas, técnicas estocásticas,técnicas estadísticas y técnicas modernas. La siguiente tabla muestra algunasde las técnicas de optimización. ã   Las técnicas determinísticas son muy útiles para encontrar el mínimo deuna función objetivo de varias variables bajo una serie de restriccionespre-establecidas siendo las restricciones y las funciones, lineales o nolineales. ã   Las técnicas estocásticas se pueden emplear para analizar problemasdescritos por un conjunto de variables aleatorias que tienen una funciónde distribución de probabilidad.  U7 – Técnicas de Optimización ClásicaFundamentos de Ingeniería EléctricaPosgrado en Ingeniería Eléctrica del Instituto Tecnológico de La Laguna   3 ã   Las técnicas estadísticas permiten analizar los problemas con datosexperimentales y la construcción de modelos empíricos para obtener larepresentación más adecuada de la situación física que se quiereoptimizar. ã   Las técnicas modernas de optimización son algoritmos poderosos quepermiten resolver problemas tan complejos como el caso de movimientode masas o tendencias, entre otras, que se adecuaron para ser aplicadosa problemas de ingeniería.Las aplicaciones de la optimización matemática pueden ser interminables, perose enumeran solo algunas en el campo de la ingeniería eléctrica: ã   Maximización de generación eléctrica con minimización de costos porinsumos. ã   Planeación óptima y control de producción y sistemas ã   Diseño óptimo de equipo eléctrico, mecánico, etc. ã   Determinación de ruta crítica para restablecimiento por colapso de V.  U7 – Técnicas de Optimización ClásicaFundamentos de Ingeniería EléctricaPosgrado en Ingeniería Eléctrica del Instituto Tecnológico de La Laguna   4 EL PROBLEMA GENERAL DE OPTIMIZACIÓN El problema de optimización clásica se establece como: Encontrar el vector de parámetros [ ] T n  x x x L 21 = X tal que minimice el valor de la función objetivo ( ) X  f   , sujeto a cumplir las funciones de restricción dadas por restricciones de desigualdad  ( ) m jg  j ,,2,10 K =≤ X y/o restricciones deigualdad  ( ) p jl  j ,,2,10 K =≤ X .  Donde: X contiene aquellos parámetros que se están buscando y se le conoce como el vector de diseño ; X puede estar formado por un solo parámetro y el problemade optimización se centrará sobre la búsqueda de ese parámetro o puedeformarse por varios parámetros en donde la búsqueda será multiparamétrica.La función f  ( X ) es la función objetivo y representa a la variable que quiereoptimizarse, como puede ser la función del error al comparar tendencias ocurvas, la función minimización de pérdidas, etc.La función o grupo de funciones g ( X ) es la función de restricciones dedesigualdad que hace de la búsqueda de parámetros quede acotada por esta oestas funciones.La función o grupo de funciones l  ( X ) es la función de restricciones de igualdadque también acota la búsqueda de parámetros.Cuando el problema de optimización contiene al menos una función derestricción, entonces se le conoce como  problema de optimización restringida.  Si no se cuenta con funciones de restricción entonces se le conoce como  problema de optimización no restringida .El diseño de la función objetivo siempre deberá estar en función de lo que sequiere obtener, es decir, si se quiere saber el valor óptimo de un parámetrodada una serie de mediciones experimentales, entonces la función objetivodebe contener forzosamente al parámetro que se busca. Las funciones derestricción van en el mismo sentido, pero se trata de un acotamiento debúsqueda del parámetro a una serie de restricciones, como por ejemplo que elparámetro sea positivo pero menor que algún límite superior, etc.
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