Soluciones Examen Limites,Continuidad y Derivabilidad

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  Ejercicio nº1.- (1 punto) Halla, observando la gráfica de la función f (x), los siguientes límites: ( ) ( ) ( ) ( ) x f lím x f lím x f lím x f lím x x x x + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ +· ÷ · ÷ ÷ 1 1 d) c) b) a) ( ) ( ) ( ) x f lím x f lím x f lím x x x 0 1 1 g) f) e) ÷ ÷ ÷ + ÷ SOLUCIÓN Para hallar los límites de éste ejercicio debemos mirar la gráfica de la función en el lugar hacia donde tiende la x en cada caso y ver dónde se acerca la gráfica de la función:
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    Ejercicio nº1.-  (1 punto) Halla, observando la gráfica de la función f  ( x  ), los siguientes límites:         x f lím x f lím x f lím x f lím  x x x x     11 d)c)b)a)         x f lím x f lím x f lím  x x x  011 g)f)e)     SOLUCIÓN Para hallar los límites de éste ejercicio debemos mirar la gráfica de la función en el lugar haciadonde tiende la x en cada caso y ver dónde se acerca la gráfica de la función: a)      b)      c)       d)       e)       f)       g)         IES JULIO CARO BAROJA  Nombre:Grupo: Fecha:     DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICASCONTROL DE LÍMITES, CONTINUIDAD YDERIVABABILIDAD1ª Evaluación 2º BB CSH  Ejercicio nº 2.-  (1 punto) Calcula los siguientes límites:   13b)a) 2x3x   x lím x log x lím  x    SOLUCIÓN   a)        Un polinomio crece más rápido que la exponencial, luego para calcular el límite bastacon sustituir  en   . b)                        Notar que lo primero que hacemos es sustituir la x por  – x y el  del límite por  . Ejercicio nº 3.-  (1 punto) Obtén el valor de los siguientes límites: 1323222 123c)12b)238a)       x x x x  x x lím x x x x lím x x x x lím    d)     1311 21 x x lím  x    SOLUCIÓNa)                        b)                              c)                   d)                 Tenemos que calcular los límites laterales.                  Ejercicio nº 4.-  (1 punto) Estudia la continuidad de la siguiente función. Si en algún punto no es continua, indicael tipo de discontinuidad (evitable, infinita ...):   135 223   x x x x x f    SOLUCIÓN  Ésta función tendrá algún punto de discontinuidad si hay algún punto que anule eldenominador. Por lo tanto, para buscar los posibles puntos de discontinuidad igualamos eldenominador a 0 y resolvemos la sencilla ecuación de segundo grado que resulta. Lassoluciones a esta ecuación, luego los puntos donde vamos a encontrar una discontinuidad son  y  . Tenemos que estudiar los límites en ambos puntos.              Tenemos que estudiar los límites laterales:                                    Tenemos una discontinuidad inevitable de salto infinito.                  Pero  , luego tenemos una discontinuidad evitable.Así   es continua en *+ .    Ejercicio nº5.-  (1 punto) Calcula el valor de a para que la siguiente función sea continua:    1si23 1si13 2 x a x x ax x f  x    SOLUCIÓN  La función es continua tanto en su primera parte como en la segunda, por ser polinomios, seacual sea el valor de a. El problema puede existir en  . Para que sea continua se tiene quecumplir que:           Vamos pues a hacer que esta cadena de igualdades se cumpla para calcular el valor de a:            ⇒⇒  Así, la función es continua si  . Ejercicio nº 6.-  (1 punto) Dada la función:  {    i) Estudiar su continuidad y su derivabilidad.ii) Calcular su derivada en x=2, aplicando la definición de derivada.SOLUCIÓN   i. Continuidad Tenemos que estudiar la continuidad en la punto donde pasamos de la primera partede la función a la segunda, pero al tener un denominador, también debemos ver si eldenominador se anula en alguno de los puntos que toma la función.Para esto segundo igualamos el denominador a cero y vemos que se anula en  ,que efectivamente sería un valor que debería tomar la función. Luego ya sabemos quela función no es continua (tampoco derivable entonces), en el   Veamos ahora que sucede con  aplicando la definición de continuidad en unpunto.
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