Formulas de Frenet

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  Formulas de Frenet-Serret -Definición: Jean Frenet Nacido: 7 de Febrero de 1816 en Périgueux, Francia. Fallecido: 12 de Junio de 1900 en Périgueux, Francia. Jean Frenet ingresó en L’École Normale Superieure en el año 1840, más tarde continuo sus estudios en Toulouse, ciudad en la que redactó su tesis doctoral durante 1847. Un fragmento de la mencionada tesis alberga la teoría de curvas en el espacio, incluyendo las fórmulas que actualmente son conocidas como ‘fórmulas de Frenet – Serret’. Frene
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  Formulas de Frenet-Serret -Definición:Jean Frenet Nacido: 7 de Febrero de 1816 en Périgueux, Francia.Fallecido: 12 de Junio de 1900 en Périgueux, Francia. Jean Frenet ingresó en L’École Normale Superieure en el año 1840, más tarde continuo susestudios en Toulouse, ciudad en la que redactó su tesis doctoral durante 1847. Un fragmentode la mencionada tesis alberga la teoría de curvas en el espacio, incluyendo las fórmulas queactualmente son conocidas como ‘fórmulas de Frenet –   Serret’. Frenet aportó seis de dichas fórmulas, mientras que Serret proporcionó las nueve restantes. Cabe señalar que Frenet publicó este apartado de su tesis en el ‘Journal de mathématique pures et appliques’, en el año 1852.Frenet llegó a ser profesor en Toulouse y, después, en 1848, ocupó un puesto de docente dematemáticas en Lyon. Además, también fue director del observatorio astronómico, donde,como tal, dirigió las observaciones meteorológicas.El libro de ejercicios sobre cálculo de Frenet, cuya primera edición, que fue publicada en el año1856, ha tenido siete ediciones, la última de ellas divulgada en 1917. Joseph Alfred Serret Joseph Alfred Serret(París,Francia,30 de agostode 1819 -Versalles,Francia,2 de marzode1885), más conocido como Joseph Serret, fue un matemático famoso por desarrollar  junto aJean Frenetla teoría de curvas.graduado por laÉcole polytechniqueen1840y miembro de sus tribunales de admisión desde1848;en1861fue nombrado profesor deMecánica celesteen elCollège de Francey diez años después obtuvo la cátedra de Cálculo Diferencial e integral en la Sorbonne. Joseph formóparte también delBureau des Longitudesdesde1873.  La principal aportación de Serret en el ámbito de lasmatemáticasse produjo dentro de lageometría diferencial. Junto aCharles BonnetyBertrand Russellrealizó importantes avances en esa cuestión, elaborando la fórmula Frenet-Serret, fundamental en la teoría de las curvasespaciales.  En1860sucedió aPoinsoten laAcadémie des SciencesdeFrancia.En1871,ante el progresivo deterioro de su salud, se retiró aVersailleshasta su fallecimiento en1885.  También trabajó algunos aspectos de la teoría de números, el cálculo y la mecánica. Editó lostrabajos deLagrange — publicados en catorce volúmenes entre 1867 y 1892 — y realizó laquinta edición de Monge en1850.Una de sus principales obras fue el manual Cours d'Algèbresupérieure, editado en dos tomos.Encálculo vectorial, las fórmulas de Frenet-Serret describir lacinemática delas propiedadesde una partícula que se mueve a lo largo de un continuo, diferenciablecurvaen tresdimensionesdel espacio euclidiano R   3 (o las propiedades geométricas de la curva,independientemente de cualquier movimiento). Más específicamente, las fórmulas de describirladerivadosde la tangente llamada, normal y binormal vectores unitariosen términos deotra. Las fórmulas tienen el nombre de los dos matemáticos franceses que los descubrieron deforma independiente:Jean Frédéric Frenet, en su tesis de 1847, yJoseph Alfred Serreten 1851. Notación vectorial y álgebra lineal en la actualidad se utiliza para escribir estas fórmulasno estaba todavía en uso en el momento de su descubrimiento.La tangente, normal y binormal vectores de la unidad, a menudo llamado T, N y B, ocolectivamente el marco de Frenet-Serret o el marco de TNB se definen como sigue:    T es el vector unitariotangentea la curva, apuntando en la dirección del movimiento.    N es la derivada de T con respecto a losparámetros arclengthde la curva, dividida por sulongitud.    B es elproducto vectorialde T  y N.  Las fórmulas de Frenet-Serret sedonde d  / ds es la d erivada con respecto a arclength, κ es la curvatura y τ es la torsiónde lacurva. Esta fórmula define efectivamente la curvatura y la torsión de una curva en elespacio.    Una curva en el espacio, los vectores T, N y B, y el plano osculador atravesado   por T y N. Sea r (t) unacurvaenel espacio euclidiano, lo que representa elvector de posiciónde la partícula en función del tiempo. Las fórmulas de Frenet-Serret se aplican a las curvasque no  son degenerados, que a grandes rasgos significa que tienenla curvatura. Másformalmente, en esta situación, lavelocidad delvector r '(t) y laaceleracióndelvector r''(t) están obligados a no ser proporcionales.Sea s (t) representan lalongitud del arcoque la partícula se ha movido a lo largo delacurva. La cantidad s  se utiliza para dar la curva trazada por la trayectoria de lapartícula ala parametrización naturalespor la longitud del arco, ya que muchosdiferentes trayectorias de las partículas puede trazar la curva geométrica mismoatravesando a diferente velocidad. En detalle, s viene  dada por    La T y N vectores en dos puntos de una curva plana, una versión traducida delsegundo cuadro (de puntos), y el cambio en T: T δ.   δs es la distancia entre los puntos. En el límite estará en la dirección N y la curvatura describe la velocidad derotación de la imagen . Por otra parte, ya que hemos supuesto que r   '≠ 0, es posible resolver para   t  como unafunción de s, y por lo tanto para escribir r (s) = r (t (s)). La curva está parametrizada porlo tanto de una manera preferente por su longitud de arco.Con una curva no degenerada r   (s), parametrizada por su arclength, ahora es posibledefinir el marco de Frenet-Serret (TNB o frame):      La unidad T vector tangente se define comoLa unidad de vectores normales N se define comoEl vector unitario binormal B se define como el producto vectorial de T y N:
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